Евклид. Геометрия полностью

Книга IX, предложение 36. Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их сумма не станет первым числом, [...] то возникающее число будет совершенным.

Евклид имеет в виду следующее:

Если 1,2, 2², 2³, ..., 2ⁿ последовательно удваивать, то их сумма будет

S_n=1 + 2 + 2² + 2³+...+ 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ -1; если S_n — простое число, то Р_n = 2ⁿ x S_n = 2ⁿx(2ⁿ⁺¹-1) — совершенное число (четное).

Евклиду удалось получить этот результат, потому что в предложении 35 книги IX он уже дал формулу, необходимую для сложения чисел из последовательности 1, 2, 2², 2³, ..., 2ⁿ. Он также обратил внимание, что единственные рассмотренные делители Р, 1, 2, 2², 2³,..., 2ⁿ и S_n, 2 х S_n, 2² х S_n, 2³ x S_n,..., 2^n-1 x S_n. Он сложил их и получил результат теоремы: сумму делителей 1, 2, 2², 2³, ..., 2ⁿ,

равную S_n = 2^{n + 1} - 1, и сумму делителей S_n, 2 x S ,2² x S ,2³ x S ,..., 2^n-1 x S и (2ⁿ - 1) x S . Сумма двух результатов — Р_n = S_n + (2n- 1) х S_n = 2ⁿ х S_n = 2ⁿ х (2^{n + 1} - 1). Ч. Т. Д.

В «Арифметике» Никомах Герасский устанавливает, что совершенными числами являются 6,28,496 и 8126. Из этого он делает следующие выводы.

1. Совершенные числа (четные) оканчиваются на 6 и 8 (верно).

2.Они чередуются (неверно).

3.Существует одно совершенное число на каждый десятичный порядок — среди единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее (неверно).

В XVIII веке Эйлер доказал теорему, взаимодополняющую теорему Евклида: каждое совершенное число (четное) имеет вид 2ⁿ х (2ⁿ⁺¹-1), где 2ⁿ⁺¹-1 — простое число. На сегодняшний день все еще существуют нерешенные вопросы относительно совершенных чисел: неизвестно, бесконечен ли их ряд и существуют ли совершенные нечетные числа.

Начнем с последовательности нечетных чисел.

Начиная с 3 уберем третьи числа через каждые два.

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.