Евклид. Геометрия полностью

Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а² + b² = с².

Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число — это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n^² + (2n + 1) = (n+1)^². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза — два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k^², где k — нечетное число. Следовательно,

n = (k² - 1)/2, k нечетное.

Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,

где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.

Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1)^², n^². Чтобы перейти от c_n = n^² к c_{n + 1} = (n + 1)^², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.

Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.

Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)^² к (n + 1)^². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)^² к n^², и 2n + 1, позволяющий перейти от n^² к (n + 1)^². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)^² + 4n = (n + 1)^². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k^². Так мы получаем тройки k^² - 1, 2k и k^² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.

Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:

Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.

Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ^²-μ^², b = 2λμ, c = λ^² + μ^², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.

Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.

«Начала» являют собой блестящий синтез трех веков достижений древнегреческой математики. Значение этого наследия было оценено уже в эпоху самого Евклида. На протяжении всей истории — в римский период, арабский, в Средние века и вплоть до наших дней — этот текст множество раз публиковали в более или менее полном виде.

Впервые он был издан в 370 году Теоном Александрийским; его версия может считаться основной традицией, на которую опираются все последующие.

Одной из самых великих научных традиций является арабская. Математики IX-X веков из багдадского Дома мудрости (эта эпоха и место имели огромное историческое значение для мировой культуры, науки в общем и для математики в частности) оценили значение «Начал», и благодаря их исследованиям и комментариям (из которых надо особо отметить комментарии Аль-Харизи и Ибн Малика) труды Евклида и других греческих мыслителей начиная с XII века стали возвращаться в Европу. К тому же периоду относятся переводы «Начал» на латынь, над которыми особенно потрудились переводчики из знаменитой толедской школы и, в меньшей мере, школы города Риполь.