Очень часто нам нужно определить шанс «того ИЛИ иного» события, например какой шанс вытащить из колоды фигурную карту ИЛИ туз? Когда два события, о которых мы говорим, являются взаимоисключающими, иными словами, когда они оба не могут произойти одновременно, вы можете сложить их индивидуальные вероятности, чтобы получить общую вероятность. Например, шанс вытянуть фигурную карту составляет 12/52, а шанс вытянуть туз – 4/52. Поскольку эти события взаимоисключающие (они не могут произойти одновременно), мы можем их суммировать: 12/52 + 4/52 = 16/52, или около 31 % вероятности.
Но что, если задать другой вопрос: каковы шансы вытащить из колоды туз или бубну? Если суммировать эти вероятности, мы получаем 4/52 + 13/52 (13 бубновых карт в колоде) = 17/52. Но если мы перечислим результаты, то увидим, что это неправильный ответ; правильный ответ – 16/52. Почему? Потому что эти два случая не являются взаимоисключающими – я могу вытащить бубновый туз! Поскольку этот случай не взаимоисключающий, «или» не означает сложение.
Давайте посмотрим на первую игру шевалье. Кажется, что он использует это правило для своих костей – сложение вероятностей: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6. Но он получает неправильный ответ, потому как эти четыре события не взаимоисключающие. Правило сложения весьма полезное, но только если вы уверены в том, что события являются взаимоисключающими.
Правило 6: В некоторых случаях «и» означает умножение
Это правило практически противоположно предыдущему! Если мы хотим знать, чему равняется вероятность двух происходящих одновременно событий, для получения ответа мы можем умножить их вероятности – но только если эти два события НЕ взаимоисключающие! Возьмем две игральные кости. Если мы хотим узнать вероятность выпадения двух шестерок, нам нужно умножить вероятность двух событий: шанс получить 6 на одной кости равняется 1/6, а также шанс получить 6 на второй кости, который тоже равняется 1/6. Выходит, что шанс выпадения двух шестерок – 1/6 × 1/6 = 1/36. Вы могли бы одинаково успешно прийти к этому выводу путем перечисления, но это отняло бы у вас намного больше времени. В правиле 5 мы пытались узнать вероятность вытянуть туз ИЛИ бубну из колоды – правило не подействовало, потому что эти события не были взаимоисключающими. Теперь давайте попробуем узнать вероятность вытащить туза И любую карту бубновой масти. Иными словами, какая вероятность вытащить бубнового туза? Интуитивно мы понимаем, что этот шанс равен 1/52, но мы можем проверить это при помощи правила 6, поскольку знаем, что оба события не являются взаимоисключающими. Шанс вытащить туза равняется 4/52, а шанс вытащить бубну – 13/52. Умножим их: 4/52 × 13/52 = 52/2704 = 1/52. То есть правило работает и соответствует нашим умозаключениям.
Достаточно ли нам этих правил, чтобы решить проблему шевалье? Давайте взглянем на первую игру.
Мы уже пришли к тому, что могли пересчитать все результаты и получить ответ 671/1296, но это заняло бы целый час. Можно ли сделать это быстрее, используя те правила, которые мы уже знаем?
(Я хочу вас предупредить: дальше все будет несколько сложнее. Если вам это не сильно нужно, избавьте себя от лишней головной боли и просто пропустите правило 7. Если вам действительно интересна разгадка, приготовьтесь – оно того стоит.)
Если бы вопрос был о том, каковы шансы выпадения четырех шестерок при кидании одной кости четыре раза, это был бы вопрос с «И» для четырех не взаимоисключающих событий, что позволило бы нам обойтись правилом 6: 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 = 1/1296. Но в нашей задаче другое условие. Перед нами стоит вопрос с «ИЛИ» для четырех не взаимоисключающих событий (возможно, что шевалье получит больше, чем одну шестерку за четыре броска). Так что же нам делать? Первый способ – выделить взаимоисключающие события и суммировать их. Но есть и другой способ описать словами эту игру.
Какой шанс бросить кость и получить следующие результаты:
1. Четыре шестерки, ИЛИ
2. Три шестерки и одна не-шестерка, ИЛИ
3. Две шестерки и две не-шестерки, ИЛИ
4. Одна шестерка и три не-шестерки?
Звучит сложновато, но мы имеем четыре взаимоисключающих события, и, если сможем узнать вероятность каждого из них, то сможем просто суммировать их и получить ответ на свой вопрос. Мы уже узнали вероятность события 1, используя правило 6: 1/1296. А что насчет 2? На самом ли деле 2 – это четыре разных взаимоисключающих события:
a) 6, 6, 6, не-шесть;
b) 6, 6, не-шесть, 6;
c) 6, не-шесть, 6, 6;
d) не-шесть, 6, 6, 6?
Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а вероятность выпадения не-шестерки – 5/6. То есть вероятность каждого из этих событий – 1/6 × 1/6 × 1/6 × 5/6 = 5/1296. Теперь, если суммировать все четыре, получается 20/1296. Выходит, что вероятность 2 – 20/1296.
