Многие хорошие математики склонны оценивать достоинства математической работы с точки зрения трудностей, которые в этой работе преодолены: математический результат хорош, если он труден, если его доказательство потребовало от его автора больших творческих усилий. Этот, я бы сказал, спортивный подход к математике так же даёт, как правило, достаточные условия для оценки достоинства математической работы: теоремы, доказательства которых представили большие трудности, обычно являются и интересными, но необходимым условие трудности доказательства теоремы для важности и значительности этой теоремы всё же не является. Например, основные теоремы Штейница об алгебраических полях и их расширениях не являются особенно трудными, однако их значение для развития современной алгебры чрезвычайно велико. Не являются особенно трудными и доказательства основных теорем Лебега об его мере и интеграле, между тем современный математический анализ был бы невозможен без этих теорем. Я уже не говорю о собственно канторовских теоремах по теории множеств, положивших начало всей теоретико-множественной математике новейшего времени. Не следует забывать, что наряду со спортивной трудностью математических результатов существует их идейная значительность, и эти две различные вещи не следует смешивать. Всё это хорошо понимал Гильберт; в своих разговорах об общих познавательных проблемах, связанных с математикой (а Гильберт охотно вёл такие разговоры), он любил отмечать различные ингредиенты математического познания, в частности и логику, и геометрическую интуицию, и призывал к гармонии между ними.
То, что мы в математике во всяком случае склонны оценивать трудность, преодолённую при получении того или иного результата, является одним из проявлений того общего факта, что мы в математике не отделяем собственно результат работы от процесса его получения и содержание от формы. Это сближает математику с искусством и делает возможным эстетический подход к математической работе и математическому творчеству. В некоторой степени эстетический подход возможен и, вероятно, даже неизбежен в применении ко всякому творческому процессу, в частности и к научному. Мне приходилось быть свидетелем такого подхода и, например, со стороны выдающихся врачей-хирургов. Но если говорить о теоретическом научном познании, то нигде этот подход, критерий красоты и внутреннего совершенства, не проявляется с такою силою, яркостью и убедительностью, как именно в математике. Для Гильберта математика, с одной стороны, всегда есть познание, постижение реальности, с другой стороны, субъективно она для него в первую очередь является увлекательным искусством; недаром основным эмоциональным образом, возникающим у Гильберта, когда он говорит о математике, и прежде всего о теоретико-множественной математике, является образ волшебного сказочного или райского сада во всевозможных вариациях этого образа.
Гильберт делился своими философско-математическими воззрениями и в своих научно-философских докладах, которые он в последние годы своей творческой жизни часто делал для достаточно широкой, не чисто математической аудитории, например, в своих гамбургских лекциях 1923 года, в своих ещё более поздних выступлениях в обществе немецких естествоиспытателей и врачей и в других публичных выступлениях. Не боялся Гильберт затрагивать серьёзные общие математико-познавательные проблемы и в самой непринуждённой обстановке, у себя дома за ужином, а также в университетском, главным образом, студенческом купальном заведении, усердным посетителем которого он был. В этом заведении, у знаменитого «купального мастера» Кли (так звали заведующего этим заведением) постоянно бывали и супруги Курант, и Эмми Нётер, и знаменитый гидромеханик Прандтль, и не менее знаменитый химик Тиман и много других известных учёных. Во время своего пребывания в Гёттингене посещал купальню Кли и Отто Юльевич Шмидт, с которым старый Кли особенно любил вступать в философско-политические дискуссии. Постоянными посетителями Кли были, конечно, и находившиеся в Гёттингене молодые математики, в том числе Хопф, Г. Леви и я. Между прочим, с основными идеями знаменитой гильбертовой работы о бесконечном я впервые познакомился, именно когда Гильберт рассказывал о ней у Кли.
