Гильберт полностью

ПРИМЕЧАНИЯ *

Hermann Weyl, David Hilbert and His Mathematical Work, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 612–654; Bol. Soc. Mat. Sao Paolo 1 (1946), 76–104; 2 (1947), 37–60. назад к тексту

1.

Пример конечной группы используется здесь только как иллюстрация. На самом деле непосредственное элементарное доказательство первой основной теоремы для конечной группы, не использующее теорему (А) Гильберта, было дано Э.Нётер (E.Noether), Math. Ann. 77 (1910), 89. Деля на N, мы предполагаем, что характеристика поля k равна 0. — Прим. авт. назад к тексту

2.

Теорема о нулях (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

3.

Книга Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра», т. 2, (Гостехиздат, 1947) даёт на стр. 7–87 прекрасное изложение затронутых здесь общих алгебраических понятий и фактов (см. также новое издание этой книги: Б. Л. ван дер Варден, Алгебра, М., «Наука», 1976, гл. XVI). — Прим. авт. назад к тексту

4.

Я рекомендую вниманию читателя краткое резюме его работы по теории инвариантов, которое было написано самим Гильбертом для Международного математического конгресса в Чикаго в связи с Международной выставкой в 1893 году; Собрание трудов, т. 2, п. 23. — Прим. авт. назад к тексту

5.

Тем самым (лат.). — Прим. ред. назад к тексту

6.

Эталон меры (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

7.

O.Veblen, Trans. Amer. Math. Soc. 7 (1906), 197–199; E.Artin, O.Schreier, Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 5 (1926), 85–99; E.Artin, там же, 100–115. — Прим. авт. назад к тексту

8.

Общество немецких математиков (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

9.

Ежегодник (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

10.

Теорема (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

11.

Последний обзор этой теории содержится в работе Шевалле (C.Chevalley), La theorie du corps de classes, Ann. of Math. 41 (1940), 394–418. — Прим. авт. назад к тексту

12.

В бесконечных (вещественных) точках единицами считаются положительные числа. — Прим. авт. назад к тексту

13.

Мечта юности (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

14.

R.Fueter, Singulare Moduln und complexe Multiplication, Bd. 2, Leipzig, 1924, 1927; см. также H.Hasse, J. reine angew. Math. 157 (1927), 115–139; O.Blumenthal, Math. Ann. 56 (1903), 509–548, 58 (1904), 497–527; E.Hecke, Math. Ann. 71 (1912), 1–37, 74 (1913), 465–510. — Прим. авт. назад к тексту

15.

Здесь достаточно сослаться на первую работу из этой серии: G.H.Hardy, J.E.Littlewood, Quart. J. Math. 48 (1919), 272–293, а также последнюю продолжающую её работу, в которой теорема Варинга обобщается на произвольные алгебраические поля: Зигель (C.L.Siegel), Amer. J. Math. 66 (1944), 122–136. — Прим. авт. назад к тексту

16.

Наоборот (лат.). — Прим. ред. назад к тексту

17.

Исчисление отрезков (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

18.

Среди более поздних достижений в этих вопросах я упомяну работу: Шван (W.Schwan), Streckenrechnung und Gruppentheorie, Math. Z. 3 (1919), 11–28. Полная библиография работ по аксиоматике геометрии после Гильберта заняла бы, по-видимому, много страниц. Я воздержусь от цитирования соответствующих имён. — Прим. авт. назад к тексту

19.

Параллельное развитие, во главе которого стоял Э. Г. Мур, происходило в Америке. Так как мне приходится писать главным образом по памяти, мой рассказ неизбежно окрашивается местными гёттингенскими традициями. — Прим. авт. назад к тексту

20.

Аксиоматическое мышление (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

21.

Кризис оснований (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

22.

Избавиться от вопросов оснований раз и навсегда (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

23.

До бесконечности (лат.). — Прим. ред. назад к тексту

24.

Теория доказательства (нем.). — Прим. ред. назад к тексту

25.

В этом случае формулы выглядели бы как генеалогические деревья. — Прим. авт. назад к тексту

26.

G.Gentzen, Math. Ann. 112 (1936), 493–565. [Русский перевод: Г.Генцен, Непротиворечивость чистой теории чисел, сб. «Математическая теория логического вывода», М., «Наука», 1967, 77–153.] — Прим. авт. назад к тексту

27.

До бесконечности (лат.). — Прим. ред. назад к тексту

28.

По поводу более поздних работ, затрагивающих также системы дифференциальных уравнений, см. Шур (Axel Schur), Math. Ann. 82 (1921), 213–239; Блисс (G.A.Вliss), Trans. Amer. Math. Soc. 28 (1926), 561–584; Рид (W.T.Reid), там же 44 (1938), 508–521. — Прим. авт. назад к тексту

29.

Вейль, Петер (H.Weyl, F.Peter), Math. Ann. 97 (1927), 737–755; Хаар (A.Haar), Ann. Math. 34 (1933), 147–169; фон Нейман (J.von Neumann), Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 445–492. [См. также Л.С.Понтрягин, Непрерывные группы, 3-е изд., М., «Наука», 1973.] — Прим. авт. назад к тексту

30.

Xодж (W.V.D.Hodge), The theory and applications of harmonic integrals, Cambridge, 1941; Вейль (H.Weyl), Ann. Math. 44 (1943), 1–6. — Прим. авт. назад к тексту

31.

R.Courant, Dirichlet's principle, conformal mapping, and minimal surfaces, Interscience Publishers Inc., New York, 1950 (русский перевод: Р.Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, М., ИЛ, 1953). — Прим. авт. назад к тексту