Гильберт полностью

Он часто говорил своим студентам в Гёттингене: «Эйнштейн излагает свою глубокую теорию с математической точки зрения неуклюже — я имею право так говорить, поскольку своё математическое образование он получил в Цюрихе у меня».

В своей специальной теории относительности Эйнштейн показал, что описание механических явлений с помощью часов и эталонов мер зависит от движения лаборатории, в которой производятся измерения. При этом он установил математические соотношения, связывающие различные описания одного и того же физического явления.

Доклад Минковского в Кёльне явился «великим моментом геометризации». За несколько минут Минковский внёс в теорию относительности свою собственную, простую и красивую математическую идею о пространстве-времени, дающую очень прозрачное математическое представление различных описаний заданного явления.

«Трёхмерная геометрия становится главной в четырёхмерной физике».

«Теперь вы знаете, — сказал он своим слушателям, — почему я заявил вначале, что пространство и время должны обратиться в фикции, уступив своё место единому миру».

Среди слушателей был Макс Борн, который снова начал проявлять интерес к теории относительности из-за недавних работ Эйнштейна. Минковскйй уговаривал Борна вернуться в Гёттинген и стать его сотрудником. Ему нужен был специалист со знанием оптики, как у Борна. Однако сначала он хотел, чтобы его бывший ученик более близко познакомился с его собственными новыми идеями в этой области. Он отослал Борна обратно в Бреслау, снабдив его своей последней работой по электродинамике.

В работе Минковского этот молодой человек нашёл уже готовым «весь математический арсенал теории относительности... в том виде, в каком с того времени его повседневно использует каждый физик-теоретик». Только к началу декабря он счёл возможным для себя вернуться в Гёттинген.

«Затем последовали несколько недель, в течение которых я видел Минковского и беседовал с ним каждый день. Это было счастливое время, полное научной активности, а также богатое опытом личного характера, началом истинной дружбы, насколько разница в возрасте и опыте позволяет употребить это слово».

Закончив обсуждение проблем теории относительности, они перешли к теории чисел. «Для Минковского, как и для Гильберта, теория чисел была самым удивительным созданием человеческого разума и духа, равным образом наука и величайшее из искусств».

Именно в это время, когда Минковский покинул теорию чисел ради электродинамики, Гильберт, оправившись после своего летнего упадка сил, увлёкся одной знаменитой проблемой в классической теории чисел. В 1770 году Эдвард Варинг, ничем другим особенно не прославившийся английский математик, утверждал, по-видимому, без всяких доказательств, что каждое целое число может быть представлено в виде суммы четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвёртых степеней и так далее — в общем случае конечным числом любых n-х степеней. Приблизительно в это время в связи с другой теоремой было доказано, что каждое целое число представимо в виде суммы четырёх квадратов. Однако это не доказывало, что Варинг, оказавшись правым в случае квадратов, был прав и в других случаях. Не ясно даже было, что каждое целое число могло быть представлено некоторым конечным числом кубов, четвёртых степеней и так далее. Количество некоторых таких степеней, бoльших 2, могло неограниченно возрастать с ростом самих чисел. С 1770 года прогресс в направлении доказательства этого утверждения Варинга был незначительным. В последнее же время математики начали проявлять новый интерес к этой проблеме, надеясь на успешное применение к ней некоторых аналитических методов. В этом направлении работал Гурвиц, но так же, как и другие математики, пытавшиеся до него доказать теорему Варинга, он бросил свои попытки, признав поражение. Тем не менее работа Гурвица вызвала у Гильберта интерес к этой проблеме. На некоторое время он оставил свои интегральные уравнения. Гильберт начал с того места, на котором остановился Гурвиц, даже взяв за основу одно тождество, аналогичное тому, которое было установлено Гурвицем. В конце 1908 года, ровно через 138 лет после того, как Варинг впервые сформулировал свою гипотезу, Гильберт получил доказательство теоремы Варинга.

Как было типично для Гильберта, его доказательство скорее давало лишь существование, а не явную конструкцию нужного представления. Однако хотя в действительности в нём и не давалось количества необходимых n-х степеней, но, в отличие от его доказательства теоремы Гордана, в доказательстве теоремы Варинга содержался метод, позволявший, по крайней мере в принципе, получить в каждом отдельном случае оценку этого числа.

Это доказательство ни в коей мере нельзя было считать простым. На самом деле, как отмечал русский теоретико-числовик Хинчин, оно было «не только тяжеловесным в своём формальном оформлении, основанном на сложных аналитических теориях..., но также не обладало прозрачностью в идейном отношении».

Однако, учитывая длительную недоступность проблемы, это можно было считать замечательным достижением.