Гильберт продолжал свои исследования в области интегральных уравнений. Поддерживая тесную связь между этими исследованиями и своей педагогической деятельностью, он часто обсуждал свои результаты на лекциях и семинарах ещё до того, как они принимали законченный вид. Часто случалось, что прогресс в его работе был обязан такого рода сотрудничеству со своими студентами, которые, как он с удовольствием вспоминал позже, «постоянно оказывали помощь в нахождении более точных формулировок, а также иногда и в расширении области исследований». Например, в 1904 году он опубликовал свою теорию собственных функций и собственных значений. В самой важной части она была ещё слишком «тяжеловесной». Затем в 1905 году Эрхард Шмидт заложил в своей диссертации новые основы теории Гильберта, которым из-за их ясности и краткости было суждено сыграть важную роль. Именно в это время, в 1905 году, Венгерская Академия Наук поразила математический мир объявлением об учреждении внушительной премии в 10 000 золотых крон, предназначавшейся математику, чьи достижения за последние 25 лет внесли наибольший вклад в развитие математики. Эта премия стала известной как премия Бояи, названная в честь Яноша Бояи, венгерского математика, одного из создателей неевклидовой геометрии, и его отца Фаркаша Бояи, друга Гаусса со студенческих времён.
Академия назначила комитет в составе Юлиуса Кёнига, Густава Радоша, Гастона Дарбу и Феликса Клейна. Ему было поручено назвать лауреата; однако ещё до заседаний комитета любому математику в мире было ясно, что придётся выбирать только из двух людей. Окончательное решение было единогласным. Премия Бояи должна была быть вручена Анри Пуанкаре, чья математическая карьера началась в 1879 году, в то время, когда Гильберт был ещё учеником гимназии. Тем не менее также единогласно комитет решил, что в знак большого уважения к Давиду Гильберту в отчёте о своём выборе, представленном Академии, его математическая работа будет оценена наравне с работой Пуанкаре.
«Не золото, а почёт», — передавал Гильберту из Будапешта свои сожаления Клейн.
Позже, вернувшись в Гёттинген, Клейн объяснил Блюменталю, что решающим соображением, из-за которого премия досталась Пуанкаре, было то, что французский математик затронул своими достижениями «всю орбиту математической науки».
«Но Гильберт ещё охватит столь же обширную область, как и Пуанкаре!» — предрекал Клейн.
Это было благоприятным временем для пророчества. Гильберт создавал теперь то, чему суждено было стать венцом его занятий анализом — теорию бесконечно многих переменных, ставшую широко известной как теория «гильбертова пространства».
Обобщение алгебраической теории квадратичных форм от двух и трёх переменных на случай любого конечного числа переменных было популярным среди алгебраистов прошлого века; так как пара чисел представляет точку на плоскости, а тройка — в трёхмерном пространстве, то при увеличении числа переменных они сочли удобным перейти в «пространства» более высокой размерности. Как однажды заметил Э. Т. Белл, такое обобщение «почти тривиально для любого компетентного алгебраиста». Однако переход к бесконечному числу переменных требует уже рассмотрения вопросов сходимости, а эта аналитическая проблема «никому не представляется тривиальной». Следующее обобщение состоит в том, что можно, например, рассматривать пространство, точками которого являются непрерывные функции.
Из-за своей крайней общности проблема, которой он теперь занимался, казалась почти недоступной даже для Гильберта. Но он смело принялся за неё.
«Если мы не оробеем под влиянием таких соображений, то мы окажемся в положении Зигфрида, перед которым отступил огонь; манящей же наградой послужит прекрасное вознаграждение — единый методологический подход к алгебре и анализу!»
В удобном и ярком пространственном представлении многие аналитические соотношения могут быть выражены в знакомых терминах; кроме того, в геометрической формулировке бoльшая часть сложных и непонятных на аналитическом языке вещей становится интуитивно почти очевидной. Благодаря этому теория гильбертовых пространств — первоначально названная Гильбертом по техническим причинам «Спектральной теорией» — предлагала чрезвычайно соблазнительный язык для простого и непосредственного выражения очень абстрактных результатов. Хотя из неё следовали многие его собственные результаты и методы, причём более простым способом, не в этом заключалось её главное значение.
«Важнее всего, — писал позже Курант, — является упорядочивающее и проясняющее действие такой общей теории функций на всю методологию и идейное развитие аналитических исследований».
Одновременно с развитием этой очень абстрактной и сложной математической теории Гильберт учил математическому анализу студентов первого курса.
