Первая математическая работа Гурвица была опубликована в соавторстве с Шубертом, когда он ещё был в гимназии. Его дальнейшие занятия позволили ему получить исключительно широкое образование по математике того времени. Свою докторскую степень он защитил у Феликса Клейна — одного из самых блестящих молодых математиков в Германии того времени. Прослушав лекции великих берлинских математиков, он переехал в Гёттинген, где занимался важной работой по теории функций.
Это был молодой человек с приятным характером, любивший музыку почти в той же степени, как и математику, и сам прекрасно игравший на фортепьяно. Перед переездом в Кёнигсберг он уже перенёс брюшной тиф, от которого чуть не умер. Часто его мучили тяжёлые припадки мигрени, быть может частично вызванные тем, что он стремился к совершенству во всём, чем ни занимался.
Гильберт нашёл нового учителя «скромным во внешнем проявлении», он увидел, что «его мудрые и весёлые глаза свидетельствовали о его высоком духе». Вместе с Минковским они вскоре установили тесные отношения с Гурвицем. Каждый вечер «ровно в пять» все трое встречались для прогулки «к яблоне». Именно тогда Гильберт нашёл способ занятий, намного более предпочтительный, чем сидеть над пыльными книгами в какой-нибудь тёмной аудитории или библиотеке.
«В бесконечных прогулках мы погружались в тогдашние проблемы математики, обменивались своими вновь приобретёнными знаниями, мыслями и научными планами; тогда мы заложили дружбу на всю жизнь».
Занимаясь «самым интересным и лёгким способом», трое молодых людей исследовали каждое королевство математического мира. Гурвиц со своими обширными знаниями, «хорошо упорядоченными и основанными на прочном фундаменте», был всё время лидером. Он полностью затмевал остальных двух.
«Мы не верили, — вспоминал позже Гильберт, — что когда-нибудь сможем продвинуться столь же далеко».
Но у них не было причин чувствовать себя подобно Александру Македонскому, который жаловался своим школьным товарищам: «Отец всё завоюет, и нам ничего не останется завоевывать».
Мир математики неисчерпаем.
Окончив восьмисеместровый университетский курс, необходимый для получения докторской степени, Гильберт начал обдумывать возможные темы для диссертации. В ней он должен был получить какие-нибудь оригинальные результаты в математике. Сначала он намеревался заняться исследованием одного обобщения непрерывных дробей. С этим он пошёл к Линдеману, бывшему его «Doctor-Father» 10. Линдеман сообщил ему, что, к сожалению, такое обобщение уже было сделано Якоби, и порекомендовал вместо этого взять задачу из теории алгебраических инвариантов.
Хотя теория алгебраических инвариантов считалась очень современной областью, её корни уходили в аналитическую геометрию, изобретённую Рене Декартом в XVII веке. В декартовой системе координат плоскости горизонтальные координаты суть вещественные числа, обозначаемые через
Имеется также большой выигрыш в общности. Так же, как размер и вид фигур не завысят от их положения относительно системы координат, так и некоторые свойства соответствующих алгебраических выражений тоже не зависят от системы координат. Эти «инварианты» служат для описания данной геометрической фигуры. Так, вполне естественно, развитие проективной геометрии, изучающей часто совершенно поразительные преобразования, связанные с проектированием, способствовало параллельному развитию алгебры, концентрирующемуся на изучении инвариантов алгебраических форм относительно различных групп преобразований. Благодаря своей высокоутончённой мощи алгебраический подход вскоре одержал верх над геометрическим, а теория алгебраических инвариантов стала предметом всепоглощающего интереса большого числа математиков.
Пионерами в новой области были англичане — Артур Кэли и его близкий друг Джон Сильвестр, оба, по случайности, бывшие адвокаты, ставшие математиками.
Однако немцы быстро усвоили новую теорию. В результате этого известный математический журнал
