Гильберт полностью

«... Теперешнее состояние дел... невыносимо. Только подумайте, понятия и дедуктивные методы, которые все изучают, преподают и используют в математике, являющиеся образцом истины и безупречности, ведут к противоречиям! Если математическое мышление не совершенно, то где же ещё искать истину и уверенность?»

Однако существует «вполне удовлетворительный способ избежать парадоксов теории множеств, оставаясь верным нашей науке». Математики должны установить внутри математики такой же порядок в своих выводах, какой существует в обычной арифметике целых чисел, «в которой никто не сомневается и где парадоксы и противоречия возникают только из-за собственной небрежности».

Однако если пытаться оставаться в пределах таких чисто интуитивных и финитных утверждений — к чему и надо стремиться, — то нам придётся воспользоваться более сложными правилами логики. Те правила, которым нас учил Аристотель и которыми пользуется человек с самого рождения, перестанут выполняться.

«Конечно, мы могли бы изменить логические законы, справедливые для финитных утверждений. Однако... мы не хотим отбрасывать простые правила аристотелевой логики... Что же тогда делать?»

«Вспомним же, что мы — математики и, как таковым, нам часто случалось оказываться в опасных ситуациях, из которых мы выбирались с помощью изобретательного метода введения идеальных элементов... Аналогично этому, чтобы сохранить простые формальные правила аристотелевой логики, мы должны добавить к финитным утверждениям идеальные утверждения».

С этой точки зрения математика станет набором формул двух сортов: первые будут нести осмысленную информацию, остальные ничего не будут обозначать, кроме того, что они представляют собой идеальную структуру теории.

«Однако в нашей общей радости от этого достижения и особенно от вновь обретённого незаменимого орудия, логического исчисления, мы не должны забывать существенного требования метода идеальных элементов — доказательства непротиворечивости».

В самом деле, добавлять идеальные элементы можно только тогда, когда это не вызывает появления противоречий.

С этой проблемой непротиворечивости можно было бы «легко справиться». По его мнению, это можно было бы сделать с помощью чисто интуитивных и финитных методов, тех же самых, с помощью которых добиваются результатов в элементарной теории чисел. Эта точка зрения гарантировала бы законность применяемого математического аппарата. Затем проверкой теории послужила бы её способность решать старые проблемы, для чего она непосредственно не предназначалась. В качестве примера он упомянул проблему континуум-гипотезы Кантора, включённую первой в список парижских проблем. Остаток своей речи он посвятил наброску подхода к этой знаменитой проблеме.

«Никто, — обещал он своим коллегам-математикам, — не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором!»

Примечания

1.

Модная песня (нем.).

2.

Веселый (итал..).

3.

Задумчивый (итал.).

4.

Глупый, придурковатый (нем.).

5.

Господа (нем.).

6.

Ежегодник (нем.).

7.

Путч (нем.)

8.

Гладкий (нем.). Здесь имеется в виду однолистная поверхность.

9.

П. С. Александров, Памяти Эмми Нётер, УМН, вып. 2 (1936), стр. 205.

В один из тихих тёплых вечеров июня 1925 года умер Феликс Клейн.

Уже задолго до этого в Гёттингене все были готовы к его смерти.

«Однако, свершившись, это событие глубоко всех взволновало и сильно подействовало на нас, — сказал Гильберт в маленькой речи, которую он произнёс перед своими коллегами на следующее утро. — До вчерашнего дня Феликс Клейн был ещё с нами, мы могли зайти к нему в гости, выслушать его совет, убедиться в том, как живо он интересовался нашими делами. Теперь это всё кончилось».

Всё, что их окружало в Гёттингене, было делом рук Клейна — коллекция математических моделей в соседнем коридоре, Lesezimmer с книгами на открытых полках, многочисленные технические институты, выросшие вокруг университета, хорошие взаимоотношения с министерством образования, большое количество важных людей в деловом и промышленном мире, заинтересованных в них... Они потеряли «великий дух, сильную волю и благородный характер».

Окончилась целая эпоха.

Спустя несколько месяцев, на мемориальном заседании Гёттингенского научного общества, Курант напомнил драматическую жизнь великого Феликса — скромное начало, эффектные достижения («Если сегодня мы можем основываться на работах Римана, то в этом всецело заслуга Клейна»), трагический срыв и затем — «удивительный поворотный пункт» — человек, который казался сломленным, прожив ещё 43 года, проявил себя с самых разнообразных сторон: как исследователь, педагог, организатор и администратор.