Получилось так, что прусский физик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951), который работал в Гёттингене вместе с знаменитым математиком Давидом Гильбертом (1862—1943) и блестяще владел математикой, попробовал в 1915 г. улучшить модель, распространив вычисления на более общий случай, в котором электроны вращаются орбитой вокруг ядер по эллиптическим, а не по круговым орбитам, совсем как планеты вокруг Солнца (рис. 28). При этом состояние каждого электрона в атоме дается тремя числами, называемыми атомными числами. Эти числа были взаимно связанными простыми правилами, характеризовали энергию электрона на орбите и определяли параметры орбиты, из которых получались их формы и ориентации. Устанавливались критерии квантования, которыми могли быть только целые числа. С помощью математического приема решения проблемы получалось, что даже если орбиты электронов были с огромным увеличением числа, их возможные энергетические состояния оставались теми же самыми. По многим орбитам с разными параметрами двигались электроны с одной и той же энергией, и это свойство, названное вырождением, обусловливало возможность, что энергетические уровни электрона были все тем же одним уровнем, который Бор вычислял, рассматривая только круговые орбиты.
Зоммерфельд рассматривал проблему релятивистски и нашел, что энергия электрона зависит в этом случае также и от формы орбиты. Таким образом, вырождение снималось, и результат оказывался в согласии с экспериментальными наблюдениями, которые уже были проведены А. А. Майкельсоном, который обнаружил, что каждая линия водорода в серии Бальмера на самом деле представляет несколько очень тесно расположенных линий (тонкая структура). Этот факт не согласовывался с теорией Бора, но первоначально им пренебрегали из-за его исключительной малости.
Кроме того, был еще ряд эффектов, которые нужно было объяснить. Кроме эффекта Зеемана, который уже был нами обсужден, в 1913 г. Иоганн Штарк открыл в своей лаборатории в Технической Высшей Школе г. Аахена, что электрическое поле может расщеплять спектральные линии серии Бальмера на несколько компонент (линий), и это явление не ограничивается только водородом.
