1
d
r
J
'
n
(idr)
+
ib
J
n
(idr)
+
C
ib
1
r
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
.
(18)
С помощью соотношения
J
''
n
(x)
+
1
x
J
'
n
(x)
+
1-
n^2
x^2
J
n
(x)
=0
(19)
из уравнения (18) имеем
1
=
B
nb
1
d
r
J
n
(idr)
-C
d
n
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
.
(20)
Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для p, 1, 1 и 1, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем
=
-A
1
c
J
'
n
(ibr)
+B
b
d
J
'
n
(idr)
+C
1
r
J
n
(idr)
e
in+ibz
,
=
-A
n
1
bc
r
J
n
(ibr)
+B
bn
1
d^2
r
J
n
(idr)
+C
d
n
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
,
w=c+=c+
-A
1
e
J
n
(ibr)
+B
J
n
(idr)
e
in+ibz
.
(21)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
r-a==D
e
in+ibz
.
Из общего граничного условия на поверхности имеем
D
Dt
(r-a-)
=
r
+
r
+w
z
(r-a-)
=0,
откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим
a-c
z
=0,
=-
i
cb
.
(22)
Обозначая главные радиусы кривизны через R1 и R2, получаем, далее, аналогичным образом
1
R1
+
1
R2
=
1
a
-
a^2
-
1
^2
a^2
^2
-
^2
z
=
1
a
-
i(n^2-1+b^2a^2)
a^2cb
.
(23)
Пусть Pr, P и Pz — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось X и используя общепринятые обозначения, имеем
P
r
=
p
x,x
=
-p
+2
u
x
,
P
=
p
x,y
=
v
x
+
u
y
,
P
z
=
p
x,z
=
w
x
+
u
z
.
Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая =0, получаем
P
r
=
-p
+2
r
,
P
=
r
+
1
r
-
r
,
P
z
=
z
+
w
r
.
(24)
Введём коэффициент поверхностного натяжения T; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде
T
1
R1
+
1
R2
+
P
r
=const,
P
=0,
P
z
=0;
(25)
отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем
-T
i(m^2-1+a^2b^2)
a^2cb
-p+2
r
r=a
=0,
(26)
1
r
+
r
-
r
r=a
=0,
z
+
w
r
r=a
=0.
(27)
Подставляя в эти условия значения p, , и w, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая B/A и C/A, получаем уравнения для определения b. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.
В экспериментах численное значение величины | iab | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | iad |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | iab | < 0,24 и | iad | > 20.)
При всех значениях x справедливо разложение
J
n
(x)
=
xn
2n·n!
-
xn+2
2n+2·1!(n+1)!
+
xn+4
2n+4·2!(n+2)!
-…
(28)
Ряд (28) быстро сходится при малых x, но очень медленно — при больших x. Из разложения (28) следует
J
'
n
(x)
=
n
x
J
n
(x)
1-
x2
2n(n+1)
-
x4
23·n(n+1)2(n+2)
-…
и далее с помощью (19)
J
''
n
(x)
=
n(n-1)
x^2
J
n
(x)
1-
x^2(2n+1)
2(n-1)n(n+1)
+
x4
23(n-1)n(n+1)2(n+2)
…
.
Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения b, мы будем полагать
J
'
n
(iab)
=-
in
ab
J
n
(iab)
1+
a^2b^2
2n(n+1)
и
J
''
n
(iab)
=-
n(n-1)
a^2b^2
J
n
(iab)
1+
a^2b^2(2n+1)
2(n-1)n(n+1)
.
(29)
Для вычисления Jn(x) при больших значениях x мы воспользуемся асимптотическим выражением
J
n
(x)
~
(2x)
- 1/2
[
P
n
(x)
+
iQ
n
(x)
]
exp i
x-
2n+1
4
[
P
n
(x)
-
iQ
n
(x)
]
exp -i
x-
2n+1
4
(30)
где
P
n
(x)
=
1-
(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)
2!(8x)^2
+
(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)(4n^2-7^2)
4!(8x)4
-…
и
Q
n
(x)
=
4n^2-1^2
1!8x
-
(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)
3!(8x)3
+…
Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части x, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для Jn(x) при больших x. При использовании формулы (30) x можно записать в виде a-ib, где a и b — большие положительные числа. При этом член с eix будет преобладающим; пренебрегая членом с e-ix, имеем
J
'
n
(x)
=
iJ
n
(x)
1+
i
2x
-
4n^2-1
8x^2
+
i(4n^2-1)
8x^3
-…
и, согласно (19),
J
''
n
(x)
=
-J
n
(x)
1+
i
x
-
2n^2-1
2x^2
-
i(4n^2-1)
8x^3
-…
.
Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим
J
'
n
(iad)
=
iJ
n
(iad)
1+
1
2ad
+
4n^2-1
8a^2d
и
J
''
n
(iad)
=
J
n
(iad)
1+
1
ad
+
2n^2+1
2a^2d^2
(31)
Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем
A
1
c
J
n
(iab)
2n(n-1)
a^2b
1+
a^2b^2
2(n-1)(n+1)
+
+
BJ
n
(iad)
2nb
ad
1+
3
2ad
+
4n^2-1
8a^2d^2
-
-
C
n
J
n
(iad)
id^2
n
1+
2
ad
+
2n^2+1
a^2d^2
=0
(32)
и
A
1
c
J
n
(iab)
2n
a
1+
a^2b^2
2n(n+1)
+
+
BJ
n
(iad)
d
1+
1
2ad
+
4n^2-1
8a^2d^2
-
CJ
n
(iad)
ib
a
=0.
(33)
Из соотношений (32) и (33) находим
BJ
n
(iad)
A
1
c
J
n
(iab)
2n
ad
1+
a^2b^2
2n(n+1)
1-
1
2ad
-
12n^2-8n-3
8a^2d^2
и
CJ
n
(iad)
A
1
c
J
n
(iab)
i2n^2(n-1)
a^2d^2b
1+
a^2b^2
2(n^2-1)
1-
2
ad
-
2n^2-3
a^2d^2
.
(34)
Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт
b^2-ib
·
4n(n-1)
a^2c
1+
a^2b^2
n(n-1)
1+
n-1
ad
+
(n-1)(2n-3)
2a^2d^2
-
-T
iba J
'
n
(iab)
pc^2a^3 J
n (iab)
(n^2-1+a^2b^2)=0.
(35)
Полагая в формуле (35) =0, получаем решение Рэлея
b
2
0
=
iba J
'
n
(iab
0
)
pc^2a^3 J
n (iab0)
(n^2-1+a^2b
2
0
)=
=
b(n^3-n)
pc^2a^3
1+
(3n-1)a
2
b
2
0
2n(n
2
-1)
+
3(n+3)a
4
b
4
0
8n(n-1)(n+1)
2
(n+2)
+…
.
(36)
Положительный корень этого уравнения мы в дальнейшем будем обозначать через k0.
Из соотношений (35) и (36) в используемом приближении получаем
b^2-ib
·
4n(n-1)
a^2c
1+
(5n+1)a^2k
2
0
2n(n
2
-1)
1+
n-1
ad
+
(n-1)(2n-3)
2a^2d^2
-
-k
2
0
=0.
(37)
В пределах точности того же приближения можно подставить в (37), имея в виду (13),
iad
=
ia
ik
0
c
1/2
=
(1-i)
a^2k0c
1/2
,
