где выбор знака определяется тем, чтобы вещественная часть iad была положительной [см. соотношение (30)]. При этом равенство (37) принимает вид
b^2-ib
·
4n(n-1)
a^2c
1+
(5n+1)a^2k
2
0
2n(n
2
-1)
1-(1-i)
n-1
2
2
ca^2k0
1/2
-
-i
(n-1)(2n-3)
4
2
ca^2k0
-k
2
0
=0.
(38)
Решая равенство (38) относительно b, получаем, полагая b=k+i,
k=k
0
1-
n(n-1)^2
2
2
ca^2k0
3/2
-
3n(n-1)^2
4
2
ca^2k0
^2
(39)
и
=
·
2n(n-1)
a^2c
1+
(5n+1)a^2k
2
0
2n(n
2
-1)
1-
n-1
2
2
ca^2k20
1/2
.
(40)
Все использовавшиеся уравнения были линейными, так что физический смысл проделанного расчёта состоит в доказательстве существования движения потока жидкости с поверхностью, описываемой уравнением
r=a+be
-z
cos kz sin n,
где k и определяются формулами (39) и (40).
Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем
T
=
k^2
c^2a^3 J
n (iak)
iak J
'
n (iak) (n^2-1+a^2k^2)
1+n(n-1)^2
2
ca^2k
3/2
+
+
3n(n-1)^2
2
2
ca^2k
^2
.
(41)
УЧЁТ ВЛИЯНИЯ КОНЕЧНОСТИ АМПЛИТУДЫ
Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом 1.
1 G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.
Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.
При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости . Используя полярные координаты и обозначая через и соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем
= -
r
,
= -
1
r
.
Считая жидкость несжимаемой, получаем
r
+
r
+
1
r
= -
^2
r^2
+
1
r
r
+
1
r^2
^2
^2
=0.
(42)
Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при r=0, может быть записано в виде
=
A
n,q
r
n
cos(n+
n
)
sin(qt+
q
),
(43)
где n — положительные целые числа.
Уравнение поверхности жидкости запишем в виде
r=a+, =(,t).
Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид
D
Dt
(a--r)
=
t
+
r
+
r
(a--r)
и
p-
T
R
=0,
(44)
где R — радиус кривизны поверхности.
Из равенства (44) находим
t
-
1
r^2
+
r
r=a+
=0
(45)
и
t
-
1
2
r
^2
+
1
r^2
^2
r=a+
-T
(a+)^2+2
^2
-
-
(a+)
^2
^2
(a+)^2
+
^2
-3/2
+
F(t)
=0.
(46)
Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия r=a, будем считать малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом должно быть величиной также первого порядка малости, если F(t) определено таким образом, что не содержит членов, не зависящих от r или .
Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора
t
+
1+
r
+
^2
2
^2
r^2
+…
r
-
1
r^2
r=a
=0
(47)
и
1+
r
+
^2
2
^2
r^2
+…
t
-
1
2
r
^2
-
1
2r^2
^2
r=a
-
-T
(a+)^2+2
^2
-
(a+)
^2
^2
(a+)^2
+
^2
-3/2
+
F(t)
=0.
(48)
Из уравнений (43), (47) и (48) может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия
2
0
a+
0
rdrd
=
2
0
1
2
(a+)^2d
=
a^2.
(49)
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости. Из соотношений (47) и (48) имеем
t
+
r
r=a
=0
(50)
и
t
r=a
-T
1
a
+
a^2
-
1
a^2
^2
^2
+
F(t)
=0.
(51)
Исключая из равенств (50) и (51), получаем
^2
t^2
-
T
a^2
r
+
^2
r^2
r=a
+
F'(t)
=0.
(52)
Если F'(t)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция
=Ar
n
cos n sin qt,
где
q^2
=
T
a^3
(n^3-n)
(53)
Подставляя это выражение в равенство (50), находим
t
=-
na
n-1
A cos n sin qt,
=
n
q
a
n-1
A cos n cos qt+f
.
(54)
Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение
f
+
f''
=const,
которому удовлетворяет функция
f=C.
При этом из (49) следует, что
C=0.
В первом приближении уравнение колебаний имеет следующий общий вид:
r=a+
b
n
cos(n+
n
)
cos(q
n
t+
n
),
где
q
2
n
=
T
a^3
(n^3-n).
Что касается более высоких приближений, то общее уравнение колебаний нельзя записать в каком-либо аналогичном виде, так как колебания различных типов являются независимыми лишь в первом приближении.
Теперь займёмся вычислением высших приближений для колебаний чисто периодического типа, для которых первое приближение имеет вид
=Ar
n
cos n sin qt,
=
n
q
a
n-1
A cos n cos qt+f
,
q^2
=
T
a^3
(n^3-n)
.
(55)
ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из (47) в (48) имеем
t
+
r
+
^2
r^2
-
1
r^2
r=a
=0
(56)
и
t
+
^2
rt
-
1
2
r
^2
-
1
2
^2
r=a
-
-T
1
a
-
a^2
-
1
a^2
^2
^2
+
^2
a^3
+
1
2a^3
^2
+
2
a^3
^2
^2
+
F(t)=0
.
(57)
Подставляя значения (55) для , и q, получаем во втором приближении
t
+
r
r=a
=-
n^2(2n-1)
4q
a
2n-3
A^2cos 2n sin 2qt
+
+
n^2
4q
a
2n-3
A^2sin 2qt
(58)
и
t
r=a
-T
1
a
-
a^2
-
1
a^2
^2
^2
+
F(t)=
=-
n(2n-1)(n^2+2n-2)
8(n^2-1)
a
2n-2
A^2(cos 2n sin 2qt + cos 2n)
-
-
n(4n^3+3n^2-4n-2)
8(n^2-1)
a
2n-2
A^2 cos 2n
-
n(3n^2-2)
8(n^2-1)
a
2n-2
A^2
.
(59)
Исключая из равенств (58) и (59), находим
^2
t^2
-
T
a^2
r
+
^3
r^2
r=a
+
F'(t)
=
=-
3qn(n-1)(2n+1)
4(n+1)
a
2n-2
A^2 cos 2n sin 2qt
+
+
4
qn(4n+3)
a
2n-2
A^2 sin 2qt
.
(60)
Полагая
F'(t)
=
4
qn(4n+3)
a
2n-2
A^2 sin 2qt
,
