Когда рассматривается измерение двух полевых средних
F(R)
и
F(R'),
оказывается (I, § 4),
что математическое ожидание усреднённой компоненты поля
,(R,R')
которое создаётся в области
R'
смещением пробных тел в области
R,
равно произведению
1/2 RP
на величину
A,(R,R'),
встречающуюся в перестановочных соотношениях (2).
Аналогично математическое ожидание усреднённой компоненты поля
,(R',R)
в области
R,
обусловленного пробными телами в области
R,
равно
1/2 R'P'A,(R',R).
Когда
установлена оптимальная компенсация импульсов, передаваемых пробным
телам этими полями, (она достигается с помощью соответствующих
устройств, использующих корреляцию путём световых сигналов между
точками этих двух областей
2. Измерения заряда-тока в начальном приближении
В формализме квантовой электродинамики плотности заряда-тока вводятся, подобно полевым величинам, компонентами j(x) в каждой пространственно-временной точке, но даже в начальном приближении, в котором такие символы формально перестановочны, чётко определённые выражения даются только интегралами типа
J
(R)
=
1
R
R
j
(x)
d
4
x
,
(3)
представляющими усреднённую плотность заряда-тока в конечной пространственно-временной области R. Из основных уравнений электродинамики следует в наиболее общем виде, что
RJ
(R)
=
R
f
x
d
4
x
=
S
f
d
;
(4)
это соотношение представляет собой определение средней плотности заряда-тока в области R в терминах потока электромагнитного поля через границу S этой области. В этом четырёхмерном представлении такие обобщённые потоки включают, конечно, кроме обычного потока электрического поля, определяющего среднюю плотность заряда, другие выражения, связанные со средними плотностями тока и представляющие циркуляции магнитного поля и токи смещения.
В простом частном случае, когда область R определена фиксированным пространственным объёмом V и постоянным временным интервалом T, средняя плотность заряда в соответствии с (4) будет задаваться, в обычном векторном представлении, выражением
J
4
(V,T)
=
1
VT
T
dt
S
En
d
,
(5)
где S — поверхность, ограничивающая объём T, а n — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. В таком представлении средняя плотность тока будет иметь вид
J(V,T)
=
1
VT
T
dt
S
[nH]
d
-
1
VT
V
E
dv
t2
t1
,
(6)
где первый член в правой части представляет собой интеграл по времени от тангенциальной составляющей магнитного поля, проинтегрированной по поверхности S, тогда как последний член выражает разность между объёмными интегралами от электрического поля в начале и в конце временного интервала T.
Таким образом, определение средней плотности заряда-тока J(R) требует измерения потока поля через границу S пространственно-временной области R. Исследование проблемы такого измерения разумно начать с рассмотрения усреднённого потока через тонкую четырёхмерную оболочку, расположенную на границе S; при этом для простоты будем предполагать, что она имеет постоянную толщину в пространстве-времени. Как в ситуации, встречающейся при измерении усреднённой компоненты поля F,(R) нам потребуется для этой цели некоторая система подвижных пробных тел, заполняющих пространство, принадлежащее в данный момент времени оболочке с соответствующим равномерным распределением заряда-тока, действие полей которых обычным образом нейтрализуется распределением противоположного знака на фиксированных, проницаемых вспомогательных телах. Для измерения усреднённой плотности заряда J4 достаточно взять набор пробных тел с равномерным распределением плотности заряда 4, в то время как при измерении компоненты тока Jl мы должны использовать, кроме таких пробных тел, другой независимый набор свободно движущихся пробных тел с равномерным распределением плотности тока l параллельным компоненте измеряемого тока.