Первый шаг к обобщению формулировки принципа соответствия был сделан при решении проблемы оптической дисперсии. Действительно, тесная связь между атомной дисперсией и спектральными линиями селективного поглощения, столь ярко продемонстрированная в остроумных экспериментах Р. В. Вуда и П. Бивена по поглощению и дисперсии в парах щелочных металлов, с самого начала подсказывала подход в духе соответствия. Исходя из предположения Эйнштейна о статистическом характере возникновения индуцированных излучением переходов между стационарными состояниями атомных систем, Крамерс в 1924 г. сумел установить общую дисперсионную формулу, включающую только энергию этих состояний и вероятности спонтанных переходов между ними. Эта теория, получившая дальнейшее развитие в работах Крамерса и Гейзенберга, содержала в себе даже новые дисперсионные эффекты, связанные с тем, что под действием излучения возникает вероятность переходов, не осуществляющихся в невозмущённом атоме; раман-эффект в молекулярных спектрах является аналогом этого явления.
Вскоре после этого шаг фундаментального значения был сделан Гейзенбергом, который в 1925 г. ввёл чрезвычайно остроумный формализм, в котором исключалось всякое использование наглядной орбитальной картины, если не считать общего асимптотического соответствия. В этой смелой концепции сохранялась гамильтоновская форма канонических уравнений механики, однако сопряженные величины заменялись операторами, подчиняющимися некоммутативному алгоритму, содержащему постоянную Планка и символ -1 И действительно, представив механические величины в виде эрмитовских матриц, элементы которых относятся ко всем возможным процессам перехода между стационарными состояниями, оказалось возможным без малейшего произвола получить энергии этих состояний и вероятности связанных с ними процессов перехода. Эта так называемая квантовая механика, в развитие которой с самого начала внесли важный вклад Борн, Иордан, а также Дирак, открыла путь непротиворечивого статистического рассмотрения многих атомных проблем, которые до этого допускали лишь полуэмпирический подход.
Для завершения этой грандиозной задачи оказалось очень полезным и поучительным опереться на формальную аналогию между механикой и оптикой, впервые указанную Гамильтоном. Так, указав на тождественную роль, которую играют в механической картине квантовые числа при классификации стационарных состояний и числа узлов, характеризующих возможные стоячие волны в упругой среде, Луи де Бройль ещё в 1924 г. пришёл к сопоставлению поведения свободных материальных частиц и свойств фотонов. Особенно поучительным было обнаруженное им совпадение скорости частицы с групповой скоростью волнового пакета, образованного из компонент, длины волн которых заключены в узком интервале и каждая из которых связана со значением импульса эйнштейновским уравнением, связывающим импульс фотона и длину волны излучения. Как известно, целесообразность такой аналогии вскоре получила убедительное подтверждение открытием селективного рассеяния электронов в кристаллах Дэвиссоном и Джермером, а также Г. П. Томсоном. Кульминационным событием этого периода было установление Шредингером в 1926 г. более объемлющей формы волновой механики, в которой стационарные состояния представляли собой собственные решения фундаментального волнового уравнения, получаемого представлением гамильтониана заряженных частиц в виде дифференциального оператора, действующего на функцию координат, определяющих конфигурацию системы. В случае водородного атома этот метод не только давал замечательно простой способ определения энергий стационарных состояний, но, как это было также показано Шредингером, суперпозиции любых двух собственных решений соответствуют такому распределению электрического заряда и тока в атоме, которое согласно классической электродинамике обусловливает испускание и резонансное поглощение монохроматического излучения с частотой, совпадающей с определённой линией спектра водорода.
Шредингер смог объяснить также основные особенности дисперсии излучения атомами, представив распределение заряда и тока в атоме, возмущённом падающим излучением, в виде суперпозиции собственных функций, определяющих множество возможных стационарных состояний невозмущённой системы. Особенно поучительным было объяснение на той же основе законов комптон-эффекта, которые, несмотря на очевидное подтверждение ими исходной идеи Эйнштейна о фотонах, на первых порах создавали очевидные трудности для их рассмотрения в духе соответствия, так как приходилось сочетать сохранение энергии и импульса с разбиением процесса на два отдельных этапа, состоящих в поглощении и испускании излучения, напоминающих радиационные переходы между стационарными состояниями атомной системы.