Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта, находится вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том, что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны, заставляло ее часто забывать свои границы. Так, казалось противным ее достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством встречающихся в ней опытных положений. Позднее сознание этого стало более развитым, но до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем, чтó может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь из другого источника, равно как и различие между тем, чтó составляет лишь член аналитического разложения, и тем, чтó представляет собой физическое существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и чистоты. – А что касается указанного остова Ньютоновых доказательств, то его без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое неосновательное искусственное построение Ньютона, опирающееся на оптические эксперименты и связанные с ними умозаключения. Прикладная математика еще полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому как уже с довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть ньютоновской оптики за другой, с той, однако, непоследовательностью, что еще сохраняются, хотя и в противоречии с этим, прочие части ее, точно так же является фактом, что часть упомянутых мнимых доказательств уже сама собой предана забвению или заменена другими доказательствами.
Примечание 2Цель дифференциального исчисления,вытекающая из его примененияВ предшествующем примечании мы рассмотрели, с одной стороны, определенность понятия бесконечно малого, которым пользуются в дифференциальном исчислении, с другой – основание его введения в это исчисление. И то и другое – абстрактные и потому сами по себе также и легкие определения. Так называемое применение представляет больше трудностей, равно как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят предмет настоящего примечания. – Весь метод дифференциального исчисления дан в положении, что
dxn+ nxn–1dx или (f (x + i) – fx) / i = Р, т. е. равняется коэффициенту первого члена двучлена (x+dxn) или (х+i)п, разложенного по степеням dx или i. Дальше нечему учиться; выведение ближайших форм, дифференциала произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса – с нахождением дифференциалов дано также и обратное: нахождение первоначальной функции на основании дифференциалов, интегрирование – можно овладеть всей теорией. Задерживает на ней дольше лишь старание усмотреть, сделать [для себя] понятным, каким образом после того, как одна сторона (Umstand) задачи, нахождение этого коэффициента, решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции переменной величины, приобретшей через приращение форму двучлена, оказывается правильной также и другая сторона, а именно отбрасывание всех членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы было так, что единственно лишь этот коэффициент и нужен, то после его нахождения (Bestimmung) было бы, как мы сказали, менее чем за полчаса покончено со всем, что касается теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы столь мало затруднений, что скорее о них как о членах ряда (как второй, третьей и т. д. [производной] функции их определение равным образом уже закончено с определением первого члена) вовсе и не было бы речи, так как в них совершенно нет надобности.
