Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам, а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим пространственным определениям линии, есть в то же время продуцирование плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12 линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12 плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных величинах единица – одна и та же. Умножение линий на линии представляется сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны с тем, во что они переходят, – с произведением, и изменяют лишь величину. Напротив, то, чтó называлось бы умножением линии как таковой на линию – это действие называли ductus linеае in lineam, равно как plani in planum, оно есть также ductus puncti in lineam, – есть не просто изменение величины, но изменение ее как качественного определения пространственности, как измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне себя – некоторое целое пространство. То же самое получается, когда представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны брать ту определенность понятия, которую мы сформулировали как выход вовне себя – качественное изменение – и которая арифметически есть умножение единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). – К этому можно еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, чтó представлялось бы умножением площади на площадь, возникает видимость различия между арифметическим и геометрическим продуцированием таким образом, что выход плоскости вовне себя как ductus plani in planum давал бы арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе, следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование настолько же формально; 3 · 3, взятое как числовое определение, помноженное само на себя, есть 3 · 3 · 3 · 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное определение, удерживается на 3 · 3 · 3, так как пространство, представляемое как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера – s3: t2), а другая, временнáя – арифметически.
В чем состоит отличие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании качественное заключалось в степеннóй определенности; здесь же это качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина, к непрерывному осуществляется как суммирование.
Но что мнимо простое суммирование на самом деле содержит в себе умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению, это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают, что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на половину высоты.
