Мы поясним это на двух примерах противоположного смысла. Я рассматриваю совокупность целых чисел и совокупность четных чисел. Каждому целому
Предположим, наоборот, что сравнивают совокупность целых чисел с совокупностью точек пространства, которые могут быть определены конечным числом слов, и предположим, что я устанавливаю между ними следующее соответствие: я составляю таблицу всех возможных фраз, располагаю их по числу, помещая в алфавитном порядке те, которые имеют одинаковое число слов. Затем зачеркиваю в ней те фразы, которые не имеют никакого смысла, которые не определяют никакой точки, и те, которые определяют точку, уже определенную одной из предыдущих фраз. Каждой точке я привожу в соответствие ту фразу, которая ее определяет, и номер, под которым находится эта фраза в образованной таким образом таблице.
Когда я введу новые точки, то может случиться, что фразы, которые раньше были лишены смысла, приобретут его; их придется тогда восстановить в таблице, из которой их вычеркнули; и номера всех остальных фраз окажутся измененными. Наши соответствия окажутся совершенно измененными; наш закон соответствия не является предикативным.
Если не обращать внимания на это условие при сравнении кардинальных чисел, то можно прийти к замечательным парадоксам. Следовательно, необходимо изменить определение кардинальных чисел замечанием, что закон соответствия, на котором основано это определение, должен быть предикативным.
Всякий закон соответствия основывается на двойной классификации. Необходимо классифицировать объекты двух совокупностей, которые собираются сравнивать, и обе классификации должны быть параллельными. Если, например, объекты первой совокупности распределяются по классам, которые в свою очередь подразделяются на разряды, а эти — на семейства и т. д., то то же самое должно быть сделано и с объектами второй совокупности. Каждому классу первой классификации должен соответствовать класс второй классификации и притом только один, каждому разряду — разряд и т. д. до тех пор, пока не придем к отдельным индивидуумам. И тогда будет видно, каково должно быть условие, чтобы закон соответствия был предикативным. Необходимо, чтобы две классификации, на которых основан этот закон, сами были предикативными.
Рассел опубликовал в American Journal of Mathematics, том XXX, под названием «Математическая логика, основанная на теории типов» мемуар, где он основывается на рассуждениях, вполне аналогичных предыдущим. Вспомнив несколько парадоксов, наиболее знаменитых у логиков, он ищет их происхождение и находит его вполне справедливо в некотором порочном кругу. Пришли к несуразностям потому, что рассматривали совокупности, содержащие объекты, в определение которых входит понятие самой совокупности. Пользовались непредикативным определением, смешали, говорит Рассел, слова all и any, что мы можем выразить по-французски словами tous (все) и quelconque (любой).
Таким образом, он приходит к необходимости рассмотреть то, что он называет иерархией типов. Допустим, что некоторое положение справедливо для некоторого индивида определенного класса. Под некоторым индивидом мы должны сначала понимать все индивиды этого класса, которые можно определить, не пользуясь указанным положением. Я их назову некоторыми индивидами 1-го порядка. Когда я буду утверждать, что положение применимо для всех этих индивидов, я буду этим определять положение 1-го порядка. Некоторый индивид 2-го порядка в этом случае будет такой индивид, в определении которого может войти упоминание этого положения 1-го порядка. Если я считаю положение верным относительно всех индивидов 2-го порядка, то получу положение 2-го порядка. Индивидами 3-го порядка будут те, в определение которых может входить упоминание об этом положении 2-го порядка, и т. д.
Возьмем пример Эпименида. Лжецом 1-го порядка будет тот, который лжет всегда, за исключением случая, когда он говорит: «я лжец 1-го порядка». Лжецом 2-го порядка будет тот, который лжет всегда, даже и тогда, когда говорит: «я лжец 1-го порядка», но который не лжет, говоря: «я лжец 2-го порядка», и т. д.
Таким образом, когда Эпименид скажет нам: «я лжец», мы можем его спросить: «какого порядка?» И только после того, как он ответит на этот законный вопрос, его утверждение будет иметь смысл.
