О науке полностью

Наоборот, положим, что хотят классифицировать точки пространства и отделяют те из них, которые могут быть определены конечным числом слов, от тех, которые не могут быть так определены. Среди возможных фраз будут такие, которые содержат указания на всю совокупность, т. е. на пространство или на его части. Когда мы введем новые точки в пространство, эти фразы изменят смысл и не будут уже определять ту же самую точку, или же вовсе потеряют всякий смысл, а то еще и приобретут такой смысл, которого они раньше не имели. В таком случае точки, которые не поддавались определению, окажутся доступными для определения, а другие, которые были определены, перестанут быть таковыми. Они должны будут переместиться из одной категории в другую. Классификация не будет предикативной.

Существуют хорошие мыслители, которые считают, что единственными объектами, о которых можно рассуждать, являются такие объекты, которые могут быть определены конечным числом слов; с моей стороны тем более невежливо не считать их хорошими мыслителями, что скоро я сам буду отстаивать их взгляды. Можно считать, что предыдущий пример плохо выбран, но его легко изменить.

Чтобы классифицировать целые числа или точки пространства, я рассмотрю фразу, определяющую каждое целое число или каждую точку. Так как может случиться, что одно и то же число или одна и та же точка будут определены несколькими фразами, то я расположу эти фразы в алфавитном порядке и выберу из них первую. Далее, эта фраза может оканчиваться гласной или согласной, и этим критерием можно воспользоваться для классификации. Но эта классификация не будет предикативной; при введении новых целых чисел или новых точек фразы, не имевшие никакого смысла, приобретут его. Тогда в таблицу фраз, определяющих целое число или точку, необходимо будет вписать новые фразы, которые до сих пор были лишены смысла, но теперь получили его и определяют именно эту точку. Может случиться, что такая фраза окажется во главе алфавитного списка и будет оканчиваться гласной, тогда как старая фраза кончалась согласной. А тогда наше целое число или наша точка, которая только что находилась в одной категории, должна будет перейти в другую.

Если же, наоборот, мы распределим точки пространства по величине их координат, если мы условимся собрать вместе те из них, абсцисса которых меньше 10, то введение новых точек ничем не изменит классификацию; уже введенные точки, соответствовавшие этому условию, не перестанут ему соответствовать после введения новых. Классификация будет предикативной.

То, что мы говорили о классификациях, непосредственно применяется и к определениям. Всякое определение в действительности является классификацией. Оно отделяет предметы, удовлетворяющие определению, от тех, которые ему не удовлетворяют, и разбивает их на два различных класса. Если оно действует, как говорили схоластики, per proximum genus et differentiam specificam[88], то, очевидно, оно основано на делении рода на виды. Определение, как и всякая классификация, следовательно, может быть или не быть предикативным.

Но здесь возникает затруднение. Вернемся к предыдущему примеру. Целые числа принадлежат к классу A или к классу B в зависимости от того, больше они или меньше чем 10,5. Я определил некоторые целые числа α, β, γ». и распределил их между двумя классами A и B. Я определяю и ввожу новые целые числа. Я сказал, что распределение не изменится и, следовательно, что классификация будет предикативной. Но чтобы положение числа α в классификации не изменялось, недостаточно неизменности порядка классификации; необходимо еще, чтобы число α осталось тем же, т. е. чтобы его определение было предикативным. Поэтому не следует говорить, что классификация является абсолютно предикативной относительно некоторого способа определения.

Не следует забывать предыдущих рассуждений при определении кардинального числа. Если мы рассматриваем две совокупности, то можем попытаться найти такой закон соответствия, что всякому объекту первой совокупности будет соответствовать объект второй совокупности и притом только один, и наоборот. Если это возможно, то говорят, что обе совокупности имеют одинаковое кардинальное число.

Но здесь предполагается также, что этот закон соответствия предикативный. Если имеют дело с двумя бесконечными совокупностями, то никогда нельзя будет считать эти две совокупности исчерпанными. Предположим, что мы взяли в первой совокупности определенное число объектов; закон соответствия позволит нам определить соответствующие объекты второй. Если мы затем введем новые объекты, то может случиться, что введение изменит смысл закона соответствия таким образом, что объект A' второй совокупности, который до этого введения соответствовал объекту A первой совокупности, не будет больше ему соответствовать. В этом случае закон соответствия не будет предикативным.