О науке полностью

Перейдем к более научному примеру и рассмотрим определение целого числа. Говорят, что свойство рекуррентно, если оно присуще нулю и если оно не может быть присущим n, не будучи присущим n + 1. Говорят, что все числа, обладающие рекуррентным свойством, образуют рекуррентный класс. В этом случае целое число по определению является числом, обладающим всеми рекуррентными свойствами, т. е. принадлежащим всем рекуррентным классам.

Можно ли из этого определения заключить, что сумма двух целых чисел является целым числом? Казалось бы, что да, так как если n — данное целое число, то числа x такие, что n + х — целое число, образует рекуррентный класс. Число x не было бы целым, если бы им не было n + х. Но определение рекуррентного класса, о котором мы только что говорили, не является предикативным, так как в это определение (которое говорит нам, что n + х должно быть целым) входит понятие целого числа, которое предполагает упоминание о всех рекуррентных классах.

Возникает необходимость прибегнуть к следующему обходному приему: назовем рекуррентными классами 1-го порядка все те, которые можно определить, не упоминая о целом, и целыми 1-го порядка — числа, принадлежащие ко всем рекуррентным классам 1-го порядка; затем назовем рекуррентными классами 2-го порядка те, которые можно определить, пользуясь понятием о целых 1-го порядка, но не пользуясь понятием целых высшего порядка; назовем целыми 2-го порядка числа, принадлежащие ко всем рекуррентным классам 2-го порядка, и т. д. Тогда мы можем доказать не то, что сумма двух целых есть целое, а что сумма двух целых порядка k есть целое порядка k–1.

Этих примеров, я думаю, достаточно, для того чтобы объяснить, что понимает Рассел под иерархией типов. Однако в таком случае возникают различные вопросы, на которых автор не остановился.

1. В этой иерархии без труда вводятся предложения 1-го, 2-го порядка и т. д. и вообще n-го порядка, где n — некоторое конечное целое число. Можно ли также рассматривать предложения порядка α, где α — порядковое трансфинитное число? Таким образом, Кёниг предложил теорию, которая не слишком отличается от теории Рассела. Он пользуется в ней специальным обозначением: объекты 1-го порядка обозначаются A(NV), объекты 2-го порядка — A(NV)² и т. д., NV — инициалы выражения ne varietur[89]. Он без колебания вводит A(NV)^α, где α трансфинитно, и при этом не определяет достаточно четко, что он под этим понимает.

2. Если ответят на первый вопрос «да», то необходимо будет объяснить, что понимают под объектом порядка ω, где ω — обыкновенная бесконечность, иными словами, первое трансфинитное порядковое число, или под объектами порядка α, где α — некоторое трансфинитное порядковое число.

3. Если же, напротив, отвечают «нет» на первый вопрос, то как можно будет обосновать на теории типов разницу между конечными и бесконечными числами, поскольку теория эта лишена смысла, если предположить, что это различие уже сделано.

4. Вообще, ответят ли на первый вопрос «да» или «нет», теория типов останется непонятной, если не предположить уже построенной теорию порядковых чисел. Каким же образом основать теорию порядковых чисел на теории типов?

Рассел вводит новую аксиому, которую называет axiom of reducibility (аксиома сводимости). Я предоставляю слово автору, так как не уверен в том, что правильно понял его мысль, «We assume, that every function is equivalent, for all its value to some predicative function of the same argument.»[90]. Но чтобы понять это утверждение, необходимо вернуться к определениям, данным в начале мемуара. Что такое функция и что такое предикативная функция? Если предложение присвоено данному объекту a, то это частное предложение; если его присваивают некоторому неопределенному предмету x, то это пропозициональная функция х. Предложение будет определенного порядка в иерархии типов, и этот порядок не будет одним и тем же, каково бы ни было x, так как он будет зависеть от порядка х. Функция будет называться предикативной, если она порядка k+1, когда x порядка k.

После этих определений смысл аксиомы все еще не очень ясен, и несколько примеров не помешают. Рассел их не дал, и я колеблюсь давать их по собственному усмотрению, так как боюсь исказить его мысль, которую я возможно не совсем точно уловил. Но даже и не уловив ее, в одном не сомневаюсь, а именно в том, что речь идет о новой аксиоме. С помощью этой аксиомы надеются доказать принцип математической индукции; что это возможно, я менее всего хотел бы отрицать, поскольку подозреваю, что эта аксиома является лишь другой формой указанного принципа.

В этом случае я не могу удержаться от того, чтобы не вспомнить всех тех, кто пытается доказать постулат Евклида, опираясь на одно из его следствий и считая это следствие очевидной истиной. Что они выиграли? Как бы ни была ясна эта истина, будет ли она более очевидной, чем сам постулат?