(2) Традиционно считается (см. Comm. in Arist. Graeca, pars XV, Berlin, 1879, p. 117, 29; pars XVIII, Berlin, 1900, p. 118, 18), что изречение у входа в платоновскую Академию гласило: «Да не переступит этого порога тот, кто не искушен в геометрии!». Как мне представляется, этот лозунг не только подчеркивал важность математических исследований, но и означал следующее: «Арифметики (точнее — пифагорейской теории чисел) недостаточно — вы должны знать геометрию!». Я попытаюсь в общих чертах пояснить, почему последняя фраза верно отражает самое важный вклад Платона в науку. См. также «Дополнение I» к тому 1.
Теперь уже общеизвестно, что подход ранних пифагорейцев к геометрии методологически был сходен с тем, что сегодня называют «арифметизацией». Геометрия считалась частью теории чисел (или «натуральных» чисел, т.е. чисел, составленных из монад или «неделимых единиц» — см. «Государство», 525 е) и теории их «», т.е. «рациональных» отношений. Пифагорейские прямоугольные треугольники, например, могли иметь стороны, отношения между которыми выражались отношениями или пропорциями целых чисел (3:4:5 или 5 : 12 : 13). Общая формула вывода таких пропорций, открытие которой приписывается Пифагору, имеет такой вид:
2n + 1 : 2n (n + 1) : 2n (n + 1) + 1
Однако эта формула, полученная при наблюдении за «гномоном», не является достаточно универсальной, что показывает следующий пример — 8:15:17. Универсальной формулой, из которой выводится пифагорейская путем подстановки m = n + 1, является:
m2 - n2 : 2mn : m2 + n2,
где m > n, а ":" — знак пропорции.
Поскольку эта формула легко выводится из теоремы Пифагора (применяя некоторые алгебраические приемы, которые, по-видимому, уже были известны ранним пифагорейцам) и поскольку она, очевидно, не была известна не только Пифагору, но и Платону (который, согласно Проклу, вывел другую неуниверсальную формулу), то можно сделать вывод о том, что «теорему Пифагора» в общем виде не знал ни Пифагор, ни даже Платон. (Менее радикальный взгляд на эту проблему изложен в книге Т. Хита: Т. Heath. A History of Greek Mathemathscs, 1921, vol. 1, p. 80-82. Формула, которую я назвал «универсальной», принадлежит Евклиду. Ее можно получить из излишне усложненной формулы, которую Хит приводит на с. 82 своей книги, сначала получив значение длины трех сторон треугольника и умножив полученные результаты на 2/m, а затем произведя замену m на n и p на d.)
Открытие иррациональности значения квадратного корня из двух (об этом открытии Платон упоминает в «Гиппии Большем» и в «Меноне» — см. прим. 10 к гл. 8, а также Аристотель. «Первая Аналитика», 41а 26 и след.) доказало невозможность осуществления пифагорейской программы «арифметизации» геометрии, а вместе с тем, по-видимому, и нежизнеспособность самого пифагорейского Порядка. Сведения о том, что это открытие сначала не подлежало разглашению, подтверждаются тем фактом, что Платон первоначально все еще называл иррациональное термином «», т.е. секрет, сокровенная тайна — см. «Гиппий Больший», 303 b/с, «Государство», 546 с. (Позднее он стал употреблять термин «несоизмеримость» — см. «Теэтет», 147 с, и «Законы», 820 с. Термин «» впервые появился, по-видимому, у Демокрита, написавшего сочинение из двух книг под названием «Об иррациональных линиях и атомах» или «О несозмеримых линиях и телах», которое было утеряно. Платону был известен термин «», о чем свидетельствует презрительное упоминание названия труда Демокрита в «Государстве», 534 d, но он никогда не использовал его в качестве синонима термину «». Первое несомненное использование термина «» в этом смысле мы находим у Аристотеля во «Второй Аналитике», 76b 9. См. также книгу Т. Heath, op. cit., vol. I, p. 84 и след., р. 156 и след. и мое «Дополнение I» в конце тома 1.)
