Конечно же, это было ошибочное утверждение, однако во времена Платона не могло еще существовать доказательства его ошибочности, а утверждение, что существуют только два вида атомарных иррациональных величин (а именно — длины диагоналей квадрата и куба с единичными сторонами) и что все другие иррациональные величины арифметически выводимы из (а) единиц (b) 2 и (с) 3 , могло казаться достаточно правдоподобным, если учесть относительный характер иррациональных величин. (Я имею в виду, что можно назвать иррациональной и диагональ квадрата с единичной стороной и сторону квадрата с единичной диагональю. Следует также помнить, что Евклид в книге X, определение 2, все еще характеризует все несоизмеримые квадратные корни «соизмеримостью их квадратов».) Поэтому Платон вполне мог верить в эту гипотезу, хотя у него не могло быть никаких ее доказательств. (Впервые ее опровержение было дано, по-видимому, Евклидом.) Существует одно несомненное упоминание о некоторой недоказанной гипотезе в том месте «Тимея», где Платон говорит о причинах предпочтения субэлементарных треугольников («Тимей», 53 c/d): «Все вообще треугольники восходят к двум, из которых каждый имеет по одному прямому углу и по два острых, но при этом у одного [полуквадрата] по обе стороны от прямого угла лежат равные углы величиной в одну и ту же долю прямого угла, ограниченные равными сторонами, а у другого [полуравностороннего] — неравные углы, ограниченные неравными сторонами. Здесь-то мы и полагаем начало огня и всех прочих тел, следуя в этом вероятности [или вероятной гипотезе], соединенной с необходимостью [доказательством]; те же начала, что лежат еще ближе к истоку, ведает бог, а из людей разве что тот, кто друг богу». И далее, сказав, что существует бесконечное множество неравнобедренных треугольников, из которых следует выбрать «наилучшие», и объяснив, почему наилучшими он считает половины равносторонних треугольников, Платон говорит («Тимей», 54 а-b; Корнфорд был вынужден смягчить этот отрывок, чтобы согласовать его со своей интерпретацией): «Обосновывать это было бы слишком долго (впрочем, если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем)». Платон не объясняет, что он понимает под словом «это» — должно быть, он имеет в виду некоторое гипотетическое математическое свойство, оправдывающее при выборе одного треугольника, содержащего величину 2, выбор другого треугольника, содержащего 3. В свете изложенных мною соображений, я полагаю, что Платон говорит здесь о предполагаемой относительной рациональности остальных иррациональных чисел, т.е. о их соизмеримости с единицей, квадратным корнем из двух и квадратным корнем из трех.
(4) Еще одним подтверждением моей интерпретации — хотя я и не нахожу в его пользу никаких свидетельств в текстах Платона — могут послужить следующие соображения. Любопытно, что сумма 2 + 3 дает очень близкое приближение к числу (см. Е. Воrel. Space and Time, 1926, 1960, p. 216; мое внимание к этому факту, правда, в другом контексте, привлек У. Маринелли). Поправка здесь не превышает 0.0047, т.е. составляет менее чем полторы тысячных от значения числа . Едва ли во времена Платона было известно лучшее приближенное значение этого числа. Некоторое объяснение этому любопытному факту может состоять в том, что среднее арифметическое площадей описанного шестиугольника и вписанного восьмиугольника является хорошим приближением к площади круга. Вспомним теперь, во-первых, то, что Брайсон исследовал свойства вписанных и описанных многоугольников (см. Т. Heath, op. cit., p. 224), и, во-вторых, то, что Платон интересовался сложением иррациональных величин и поэтому должен был попытаться получить сумму 2+3. Существуют два доступных Платону способа получения приблизительного равенства 2+3 , второго из которых Платон, по-видимому, не мог избежать. Весьма вероятно, что Платону было известно это соотношение, хотя он и не мог доказать, выражает ли оно строгое равенство или лишь хорошее приближение.
