Начнем с упрощенного случая равных вероятностей для двух результатов измерения, так что Предположим, что Алиса производит измерения на множественных копиях суперпозиции в каноническом базисе. После первого измерения она становится частью запутанного состояния, в которое входят два слагаемых:
После второго измерения слагаемых будет уже четыре:
|Ψ⟩ = ½ (|HH⟩ ⊗ |Алиса увидела H в 1-м измерении, H во 2-м измерении⟩ + |HV⟩ ⊗ |Алиса увидела H в 1-м измерении, V во 2-м измерении⟩ + |VH⟩ ⊗ |Алиса увидела V в 1-м измерении, H во 2-м измерении⟩ + |VV⟩ ⊗ |Алиса увидела V в 1-м измерении, V во 2-м измерении⟩), (2.39)
и т. д. Эту суперпозицию можно представить в виде древовидной структуры, где каждое измерение удваивает число членов в суперпозиции и ветвей дерева (рис. 2.5a). После n измерений их число станет равно 2n. Каждый член имеет амплитуду и соответствует уникальному пути вниз по ветвям дерева.
В каком бы слагаемом суперпозиции Алиса ни находилась, она не может видеть остальные слагаемые, но зато знает всю историю результатов измерений, имевших место в пределах ее ветви развития событий. Соответственно, она может вычислить частоту встречаемости для каждого из своих результатов и интерпретировать эти статистические результаты как вероятности. А именно: если Алиса наблюдала |H⟩ k раз, а |V⟩ — n — k раз, то она сделает вывод, что вероятность обнаружить |H⟩ равна k/n.
Упражнение 2.57. Предположим, что Алиса производит большое число n измерений на копиях состояния Вычислите долю путей по дереву суперпозиции, содержащих k результатов |H⟩ и n — k результатов |V⟩.
Подсказка: загляните в упр. Б.8.
Ответ:
Упражнение 2.58§. Получите результат предыдущего упражнения численно и постройте график его зависимости от k для n = 100.
Ответ: см. рис. 2.6a.
Упражнение 2.59*. Покажите, что для n ≫ 1 уравнение (2.40) может быть аппроксимировано гауссовой функцией
где A (n) зависит только от n.
Подсказка: этот известный математический результат можно получить с использованием следующих приближений:
1. Аппроксимируйте натуральный логарифм с использованием формулы Стирлинга как ln x! ≈ x (ln x — 1).
2. Приравняйте и считайте δ ≪ n. Затем аппроксимируйте при помощи разложения Тейлора второго порядка.
Из этих упражнений мы можем увидеть, что для подавляющего большинства путей на дереве суперпозиции т. е. они содержат приблизительно равное число событий H и V со стандартными отклонениями, пропорциональными корню из числа измерений (рис. 2.6a). Опыт наблюдателей на этих путях согласуется с правилом Борна. Хотя, как уже говорилось, существуют «девиантные» вселенные, в которых правило Борна не действует, их число невообразимо мало.
Теперь давайте повторим вывод для более сложных условий. Предположим, что начальное состояние фотона |ψ⟩ = α|H⟩ + β|V⟩ с амплитудами α и β, необязательно равными (хотя мы по-прежнему считаем их действительными)[69]. После первого измерения общее состояние фотона и Алисы:
|Ψ⟩ = α|H⟩ ⊗ |Алиса увидела H⟩ + β|V⟩ ⊗ |Алиса увидела V⟩. (2.42)
Дерево суперпозиции ветвится с каждым последующим измерением. Однако рассуждения, которые мы провели выше для случая α = β, работать не будут, поскольку разные ветви будут входить в дерево суперпозиции с разными амплитудами. Чтобы разобраться с этим вопросом, модифицируем дерево суперпозиции следующим образом.
Воспользуемся приближением:
где mH и mV — натуральные числа. Выбирая эти величины достаточно большими, мы можем аппроксимировать любые действительные α и β сколь угодно точно. Алиса — это сложная квантовая система; ее гильбертово пространство очень многомерно. Поэтому в соответствии с упр. A.25, мы можем ввести множество ортонормальных состояний Алисы таких что
Эта суперпозиция имеет mH + mV ортогональных членов, причем mH соответствуют наблюдению горизонтальной поляризации, а mV — вертикальной. Каждое следующее измерение вызывает дальнейшее ветвление дерева суперпозиции таким способом, что после n измерений оно насчитывает всего (mH + mV)n ветвей (рис. 2.5 b). Важно, что все ветви теперь имеют равные амплитуды, так что мы можем продолжать рассуждения аналогично тому, как рассуждали в уже изученном случае α = β.
Упражнение 2.60. Для состояния суперпозиции, приготовленного после n измерений:
a) вычислите долю членов, содержащих k результатов |H⟩ и n — k результатов |V⟩;
b) оцените полученный результат численно и постройте график его зависимости от k для n = 100,
c) * вычислите гауссово приближение в окрестностях k = α2n аналогично упр. 2.59.
Ответ:
Мы снова видим, что правило Борна выполняется в подавляющем большинстве миров. Можно заключить, что постулат об измерениях в квантовой механике следует из постулата о гильбертовом пространстве и унитарности квантовой эволюции. Означает ли это, что нам следует отказаться от этого постулата из-за его избыточности и логической противоречивости?
