Отличная квантовая механика полностью

Предположим, у Алисы имеется единственная копия фотона в некотором квантовом состоянии, который она хотела бы передать Бобу. Однако состояние этого фотона ей неизвестно, и прямого канала квантовой связи между Алисой и Бобом тоже нет. На первый взгляд миссия Алисы невыполнима. Действительно, если она не может послать нужный фотон Бобу непосредственно, то единственное, что ей остается, — это измерить его. Но, как говорилось в подразд. 1.4.2, измерение единственной копии квантового состояния дает о нем очень мало информации — совершенно недостаточно, чтобы воспроизвести точную его копию где-то в другом месте. И все же, как мы увидим, Алиса может воспользоваться мощным инструментом — запутанностью, — чтобы передать состояние своего фотона Бобу опосредованно со 100 %-ной вероятностью и полной достоверностью.

В подразд. 2.2.1 мы изучали удаленное приготовление состояния — квантовый протокол связи, который позволяет передать квантовое состояние от Алисы Бобу посредством общего для обеих сторон запутанного «ресурсного» состояния и классического канала связи. Чтобы удаленно приготовить желаемое состояние в локации Боба, Алиса должна знать, что это за состояние. Измерив свою часть запутанного ресурса в базисе, выбранном в соответствии с этим знанием, Алиса удаленно переводит принадлежащую Бобу часть этого ресурса в желаемое состояние или состояние, ортогональное таковому.

Протокол квантовой телепортации в некоторых отношениях похож на вышеописанный. Однако, в отличие от ситуации с удаленным приготовлением состояния, Алиса ничего не знает о состоянии, которое она хочет передать Бобу. Вместо этого у нее есть одна его копия. Оказывается, посредством совместного измерения этого состояния и своей доли общего ресурса Алиса может достичь аналогичной цели: перевести долю Боба в совместном ресурсе в желаемое состояние или в такое, которое можно перевести в желаемое средствами некоторой локальной операции[71].

Таким образом, в противовес научной фантастике, где телепортация — это перемещение объекта, квантовая телепортация — это перемещение квантового состояния объекта. Однако от этого явление квантовой телепортации ничуть не становится менее поразительным. Мы знаем, что для определения неизвестного квантового состояния мы должны измерить много его копий разными способами. Еще мы знаем, что теоретически невозможно клонировать квантовое состояние, т. е. изготовить его копию, сохранив оригинал в целости. Однако при всем этом мы можем воссоздать состояние в отдаленной локации, уничтожив оригинал, причем для этого нам нужна всего лишь одна копия этого состояния.

На рис. 2.8 схематически показан протокол квантовой телепортации. У Алисы имеется одна копия исходного состояния |𝝌⟩ = α|H⟩ + β|V⟩ в канале 1, связанном с гильбертовым пространством 𝕍₁; дополнительно Алиса и Боб располагают запутанным состоянием |Ψ^—⟩ в гильбертовом пространстве 𝕍₂ ⊗ 𝕍₃, охватывающем каналы 2 и 3. Следующее упражнение объясняет пошагово, как работает телепортация.

Упражнение 2.67

a) Выразите состояние |𝝌⟩ ⊗ |Ψ^—⟩ в каноническом базисе пространства 𝕍₁ ⊗ 𝕍₂ ⊗ 𝕍₃.

b) Выразите состояния канонического базиса 𝕍₁ ⊗ 𝕍₂ в базисе Белла.

c) Выразите состояние |𝝌⟩ ⊗ |Ψ^—⟩ в виде (2.15), т. е. как линейную комбинацию тензорных произведений между элементами базиса Белла 𝕍₁ ⊗ 𝕍₂ и нормированными состояниями в 𝕍₃.

d) Предположим, что Алиса производит локальное измерение на 𝕍₁ ⊗ 𝕍₂ в базисе Белла. Вычислите вероятность каждого результата этого измерения и состояние, на которое отобразится пространство 𝕍₃.

e) Алиса сообщает результат своего измерения Бобу по классическому каналу связи. Покажите, что при помощи этой информации Боб может перевести состояние 𝕍₃ в |𝝌⟩ посредством локальной операции. Напишите эту операцию как оператор и предложите его реализацию при помощи волновых пластинок.

Ответ: см. табл. 2.3.

Мы видим, что Боб, приняв классическое сообщение от Алисы о том, какое состояние Белла она увидела, и выполнив над своим фотоном одну из операций Паули, получит копию состояния источника |𝝌⟩. Само же исходное состояние источника будет уничтожено Алисой в процессе измерения.

Важно, что вероятности для каждого результата измерения Алисы равны 1/4 независимо от параметров α и β исходного состояния. Это означает, что Алиса при своем измерении не узнает ничего об этом состоянии. Боб тоже ничего о нем не узнает (если только не решит в какой-то момент измерить свой фотон). Такая неосведомленность обеих сторон — обязательное условие для правильной передачи. Если бы мы имели возможность получить хоть какую-нибудь информацию о квантовом состоянии, сохранив при этом его точную копию, мы смогли бы использовать ее для сверхсветовой связи способом, аналогичным тому, который обсуждался в упр. 2.44.

Отступление 2.6. Можем ли мы телепортировать человека?