Куракин был правнуком Бориса Куракина, свояка Петра I: их жёны, Лопухины, были родными сёстрами. Приходясь внучатым племянником графу Никите Панину, он учился под его надзором имеете с великим князем Павлом и с ранних лет проявлял искреннюю привязанность к своему царственному соученику. Когда его высочество испытывал нужду в деньгах, князь даже закладывал свои деревни, чтобы оказать ему помощь. Однако он чем-то не угодил императрице Екатерине II, и та направила его на поселение в свои южные поместья.
После восшествия на престол Павла I князь был отозван в Петербург и на него посыпались царские милости. Он тесно сблизился с сыном Екатерины и считал позднее эти годы лучшими в своей жизни. Мария Фёдоровна устраивала в Павловске обеды, приглашала гостей на театральные представления или на карточную игру, и среди приглашённых был часто и князь Куракин. К нему у неё было особенно доверительное отношение. После смерти Павла I именно Куракину было поручено разобрать и привести в порядок все его бумаги.
Князь Куракин отличался любовью к роскоши, окружал себя множеством прислуги, одежда его сверкала бриллиантами. В царствование Александра I, когда сам император ездил в коляске, запряжённой одной лошадью, и когда на улицах редко можно было увидеть богатые экипажи, только один Куракин сохранял прежний екатерининский обычай и ездил в позолоченной карете с форейтором, двумя лакеями на запятках и двумя скороходами, бежавшими за каретой. Зрелище было впечатляющим. А хлебосольство и широта князя были известны далеко за пределами Петербурга. Однако при всей роскоши и изнеженности, которыми была обставлена его жизнь, Куракин слыл умным и образованным человеком — он окончил Лейденский университет, любил сочинять, им было издано несколько собственных книг.
Всё это высоко ценила вдовствующая императрица, сохраняя к другу своего покойного супруга доброе отношение. В 1807 году князь Куракин был назначен чрезвычайным и полномочным послом к венскому двору. На пути из Петербурга в Вену он почти ежедневно доносил Марии Фёдоровне о своём путешествии, подробно описывал обстановку в городах, где проезжал, встречи с официальными лицами и близкими ко двору людьми. Пробыв несколько дней в Тильзите, он отправил императрице письмо с сообщением о положении дел в армии и о заключении мира с Наполеоном, но оговорился при этом, что делает это по личному повелению её сына, так как государь из-за недостатка времени не мог сам написать матушке.
Когда у Марии Фёдоровны возникла мысль выдать свою дочь Екатерину замуж за австрийского императора Франца, супруга которого скончалась несколько недель назад, именно Куракину она поручила по прибытии в Вену устроить это семейное дело. Вопрос о браке Екатерины князь обсудил в Тильзите с Александром I и направил его матери срочную депешу следующего содержания:
