В случае, когда X меньше, чем А, имеем аналогичную ситуацию, причем левое и правое поддеревья меняются местами. Таким образом, в любом случае мы должны построить дерево НовДер, используя три дерева (назовем их Дер1, Дер2 и Дер3) и два отдельных элемента А и В. Теперь рассмотрим вопрос: как соединить между собой эти пять составных частей, чтобы дерево НовДер было AVL-справочником? Ясно, что они должны располагаться внутри НовДер в следующем порядке (слева направо):
Дер1, А, Дер2, В, Дер3
Рассмотрим три случая:
(1) Среднее дерево Дер2 глубже остальных двух деревьев.
(2) Дер1 имеет глубину не меньше, чем Дер2 и Дер3.
(3) Дер3 имеет глубину не меньше, чем Дер2 и Дер1.
На рис. 10.9 видно, как можно построить дерево НовДер в каждом из этих трех случаев. Например, в случае 1 среднее дерево Дер2 следует разбить на два части, а затем включить их в состав НовДер. Три правила, показанные на pис.10.9, нетрудно запасать на Прологе в виде отношения
соединить( Дер, А, Дер2, В, Дер3, НовДер)
Последний аргумент НовДер — это AVL-дерево, построенное из пяти составных частей, пяти первых аргументов. Правило 1, например, принимает вид:
соединить( Д1/Н1, А, д( Д21, В, Д22)/Н2, С, Д3/Н3,
% Пять частей
д( д( Д1/Н1, А, Д21)/На, В, д( Д22, С, Д3/Н3)/Нс)/Нb) :-
% Результат
H2 > H1, H2 > Н3, % Среднее дерево глубже остальных
На is Н1 + 1, % Глубина левого поддерева
Нс is Н3 + 1, % Глубина правого поддерева
Hb is На + 1, % Глубина всего дерева
Программа доб_аvl, вычисляющая также глубину дерева и его поддеревьев, показана полностью на рис. 10.10.
10.3. Определите отношение
avl( Дер)
для проверки того, является ли Дер AVL-деревом, т.е. верно ли, что любые два его поддерева, подсоединенные к одной и той же вершине, отличаются по глубине не более чем на 1. Двоичные деревья представляйте в виде термов д( Лев, Кор, Прав) или nil.
% Вставление элемента в AVL-справочник
доб_аvl( nil/0, X, д( nil/0, X, nil/0)/1).
% Добавить X к пустому дереву
доб_аvl( д( L, Y, R)/Ну, X, НовДер) :-
% Добавить X к непустому дереву
больше( Y, X),
доб_аvl( L, X, д( L1, Z, L2)/ _ ),
% Добавить к левому поддереву
соединить( L1, Z, L2, Y, R, НовДер).
% Сформировать новое дерево
доб_avl( д( L, Y, R)/Ну, X, НовДер) :-
больше( X, Y),
доб_avl( R, X, д( R1, Z, R2)/ _ ),
% Добавить к правому поддереву
соединить( L1, Y, Rl, Z, R2, НовДер).
соединить( Д1/Н1, А, д( Д21, В, Д22)/Н2, С, Д3/Н3,
д( д( Д1/Н1, А, Д21)/На, В, д( Д22, С, L3/Н3)/Нс)/Нb) :-
Н2 > H1, H2 > Н3, % Среднее дерево глубже остальных
На is H1 + 1,
Hс is Н3 + 1,
Нb is На + 1.
соединить( Д1/Н1, А, д( Д2/Н2, С, Д3/Н3,
д( Д1/Н1, А, д( Д2/Н2, С, Д3/Н3)/Нс)/На) :-
H1 >= H2, H1 >= Н3, % "Глубокое" левое дерево
max1( H2, Н3, Нс),
max1( H1, Нс, На).
соединить( Д1/Н1, А, Д2/Н2, С, Д3/Н3,
д( д( Д1/Н1, А, Д2/Н2)/На, С, Д3/Н3)/Нс) :-
Н3 >= H2, Н3 >= H1, % "Глубокое" правое дерево
max1( H1, H2, На),
max1( На, Н3, Нс).
max1( U, V, М) :-
U > V, !, М is U + 1; % М равно 1 плюс max( U, V)
М is V + 1.
Рис. 10.10. Вставление элемента в AVL-справочник. В этой программе предусмотрено, что попытка повторного вставления элемента терпит неудачу. По поводу процедуры соединить см. рис. 10.9.
• 2-3 деревья и AVL-деревья, представленные в настоящей главе, — это примеры
