Стратегические игры полностью

В главе 2 мы указали на трудности с использованием вероятностей для вычисления среднего или ожидаемого выигрыша игроков в той или иной игре. Рассмотрим игру, участники которой получают или теряют деньги; предположим, выигрыш в ней равен определенной сумме. Если вероятность не получить ничего составляет 75 %, а вероятность получить 100 долларов — 25 %, то ожидаемый выигрыш рассчитывается как взвешенное по вероятности среднее; иными словами, он равен среднему значению различных выигрышей, рассчитанному с использованием вероятности в качестве веса. В данном случае мы имеем 0 долларов с вероятностью 75 %, что дает в среднем 0,75 × 0 = 0, и 100 долларов с вероятностью 25 %, что дает в среднем 0,25 × 100 = 25. Этот же выигрыш игрок получил бы в результате неслучайного исхода, гарантирующего ему 25 долларов каждый раз, когда он играет. Считается, что люди нейтральны по отношению к риску, если для них не имеет значения, что выбирать из различных вариантов с одинаковой денежной стоимостью, но разным уровнем риска. В нашем примере в одном варианте риск отсутствует (игрок получит 25 долларов в любом случае), тогда как другой вариант сопряжен с риском, обеспечивая 0 долларов с вероятностью 0,75 и 100 долларов с вероятностью 0,25, с тем же средним показателем 25 долларов. С другой стороны, есть люди, не расположенные к риску, то есть те, кто из двух вариантов с одинаковой средней денежной стоимостью выберет менее рискованный. В нашем примере они предпочли бы получить 25 долларов наверняка, чем сталкиваться с рискованной перспективой «100 долларов или ничего», и при наличии возможности выбора остановились бы на более безопасном варианте. Такая нерасположенность к риску встречается повсеместно, поэтому нам нужна теория принятия решений в условиях неопределенности, учитывающая этот факт.

В главе 2 мы также говорили, что незначительное изменение процедуры вычисления выигрышей позволяет обойти эту трудность. Мы сказали, что выигрыши можно измерять не в денежных суммах, а с помощью нелинейной шкалы денежных сумм. В данном приложении мы покажем, как составить такую шкалу и почему это решает нашу проблему.

Предположим, когда человек получает D долларов, мы исходим из того, что его выигрыш составляет не просто D, а, например, √D. Тогда выигрыш от 0 долларов равен 0, а выигрыш от 100 долларов равен 10. Такое преобразование не меняет способа оценки двух выигрышей в размере 0 долларов и 100 долларов, а просто определенным образом меняет шкалу выигрышей.

Теперь проанализируем рискованную перспективу получения 100 долларов с вероятностью 0,25 и отсутствия какого бы то ни было выигрыша в противном случае. После изменения шкалы ожидаемый выигрыш (представляющий взвешенное по вероятности среднее двух выигрышей) составляет (0,75 × 0) + (0,25 × 10) = 2,5. Он эквивалентен квадратному корню из полученной денежной суммы. Поскольку 2,5 = √625, выигрыш человека, который наверняка получит 6,25 доллара, также составит 2,5. Другими словами, в случае применения шкалы выигрышей в виде квадратного корня человек был бы одинаково рад получить 6,25 доллара наверняка и 100 долларов с вероятностью 25 процентов. Подобное безразличие к гарантированным 6,25 доллара и 100 долларам в одном из четырех случаев свидетельствует о сильной нерасположенности к риску: этот человек готов пожертвовать разностью между 25 долларами и 6,25 доллара ради того, чтобы его избежать. На рис. 8П.1 показана эта нелинейная шкала (квадратный корень), ожидаемый выигрыш и безразличие человека к выбору между беспроигрышным и рискованным вариантом развития событий.

Рис. 8П.1. Вогнутая шкала: нерасположенность к риску

Но что если нелинейная шкала, используемая нами для изменения шкалы долларовых выигрышей, содержит кубический, а не квадратный корень? Тогда выигрыш от получения 100 долларов равен 4,64, а ожидаемый выигрыш от рискованного варианта составляет (0,75 × 0) + (0,25 × 4,64) = 1,16, то есть кубический корень из 1,56. Следовательно, человек с такой шкалой выигрышей наверняка получит только 1,56 доллара вместо рискованного варианта, обеспечивающего ему в среднем 25 долларов. Это означает, что у такого человека действительно очень высокий уровень нерасположенности к риску. (Для того чтобы понять, почему ситуация обстоит именно так, сравните график кубического корня из x с графиком квадратного корня из x.)