Стратегические игры полностью

Взглянув на последнюю сумму, специалист по бесконечным суммам[179] сказал бы, что она сходится к конечной величине δ/(1 + δ). Такая сходимость обеспечивается за счет того, что все большие степени числа, меньшего 1 (в данном случае δ), становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю по мере стремления n к бесконечности. При этом последние члены выражения, описывающего приведенную стоимость, уменьшаются до тех пор, пока не станут настолько маленькими, что весь ряд приблизится к определенному значению суммы, но сугубо формально никогда его не достигнет. Для того чтобы сделать вывод о том, что сходящееся значение суммы составляет δ/(1 + δ), понадобятся более сложные математические выкладки. Тем не менее достаточно просто доказать, что это правильный ответ.

Чтобы доказать истинность нашего утверждения, мы используем один простой прием. Возьмем сумму первых m членов ряда и обозначим ее как S_m. Таким образом получим

Теперь умножим эту сумму на (1 — δ), чтобы получить следующее выражение: (1 — δ)S_m = δ + δ² + δ³ + … + δ^m — 1 + δ^m — δ² — δ³ — δ⁴ — … — δ^m — δ^m + 1 = δ — δ^m + 1.

Разделив обе стороны на (1 — δ), имеем

И наконец, возьмем предел этой суммы в случае приближения m к бесконечности, чтобы определить значение исходной бесконечной суммы. По мере стремления m к бесконечности значение δ^m+1 приближается к нулю, поскольку очень большие и увеличивающиеся степени числа, меньшего 1, становятся все меньше, но остаются неотрицательными. Таким образом, когда m стремится к бесконечности, правая сторона представленного выше уравнения приближается к δ / (1 — δ), а значит, это и есть предел S_m, когда m стремится к бесконечности. Что и требовалось доказать.

Для того чтобы использовать полученный ответ для вычисления значений текущей стоимости в играх с дилеммой заключенных, необходимо восстановить значение r. Поскольку δ = 1/(1 + r), из этого следует, что

В таком случае текущая стоимость бесконечного потока убытков в размере 36 долларов, понесенных в каждом месяце, начиная со следующего, составляет

Это и есть значение, использованное нами для определения того, стоит ли игроку навсегда отказываться от сотрудничества, в разделе 2. Обратите внимание, что введение вероятности продолжения p ≤ 1 в вычисление дисконтированных значений ничего не меняет в примененной здесь процедуре суммирования. В представленных выше вычислениях мы вполне могли бы подставить R вместо r, а pδ вместо коэффициента дисконтирования δ.

Не забывайте, что вам нужно искать приведенную стоимость только тех убытков (или прибылей), которые будут понесены (или получены) в будущем. Приведенная стоимость 36 долларов, потерянных сегодня, составляет просто 36 долларов. Следовательно, если бы вам потребовалось вычислить приведенную стоимость последовательности убытков по 36 долларов каждый, начиная с текущего дня, вы взяли бы 36 долларов, потерянных сегодня, и прибавили бы к ним приведенную стоимость последовательности убытков, понесенных в будущем. Мы только что вычислили, что она равна 36/r. Стало быть, приведенная стоимость последовательности убытков в размере 36 долларов, в том числе 36 долларов, потерянных сегодня, составила бы 36 + 36/r, или 36[(r + 1)/r], что эквивалентно 36/(1 — δ). Аналогично, если бы вам понадобилось проанализировать последовательность значений прибыли игрока в случае применения определенной условной стратегии в дилемме заключенных, вам не нужно было бы дисконтировать объем прибыли, полученной за самый первый период; достаточно было бы дисконтировать только те показатели прибыли, которые представляют собой деньги, полученные в будущие периоды.