Том 3. Квантовая механика полностью

Оказывается, что никак иначе этого сделать нельзя!

«Погодите, — скажете вы, — H₁₂ по В не линейно. Из (8.21) следует, что H₁₂=μ√(В²_x+В²_y)». Не обязательно. Есть и другая возможность, которая уже линейна, а именно

На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать

где δ — произвольная фаза.

Какой же знак и какую фазу мы обязаны взять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — это вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать е^iδ=-1. Мы можем делать так же и написать

(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выборе фаз, который мы использовали в гл. 4.) Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно, равен

(8.22)

А уравнения для амплитуд С₁ и С₂ таковы:

(8.23)

Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается в том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.23) для решения всевозможных интересных задач.

Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении z. Ему соответствуют два стационарных состояния с энергиями ±μВ_z. Добавим небольшое поле в направлении х. Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, x-компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как cosωt. Тогда уравнения станут такими, как для молекулы аммиака в колеблющемся электрическом поле (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от +z-состояния к —z-состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, ω₀=2μB_z/ℏ. Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).

Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином ¹/₂. Прибор Штерна—Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении +z, и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.

Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле В, направление которого характеризуется полярным углом θ и азимутальным углом φ (фиг. 8.10).

Фиг. 8.10. Направление В определяется полярным углом θ и азимутальным углом φ.

Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды С₁ и С₂ для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона |ψ>, мы хотим написать

где C₁ и С₂ равны

а |1> и |2> обозначают то же самое, что раньше обозначалось |+> и |-> (по отношению к выбранной нами оси z).

Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен В, то электрон находится в стационарном состоянии с энергией Е_I=-μВ. Поэтому и C₁ и С₂ должны изменяться как exp(-iE_It/ℏ) [см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты а₁ и а₂ даются формулой (8.5):

(8.24)

Вдобавок a₁ и а₂ должны быть нормированы так, чтобы было |a|² +|а₂|²=1. Величины Н₁₁ и H₁₂ мы можем взять из (8.22), используя равенства

Тогда мы имеем

(8.25)

Кстати, скобка во втором уравнении есть просто e^-iφ, так что проще писать

(8.26)

Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на -μB, находим

(8.27)

Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и а₁, и а₂. Сделать это нетрудно, но мы сократим путь, прибегнув к одному трюку. Известно, что 1-cosθ=2sin²(θ/2) и sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2). Значит, (8.27) совпадает с

(8.28)

Один из ответов, следовательно, таков:

(8.29)

Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию

Вы знаете, что умножение a₁ и а₂ на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на e^iφ/2. Принято писать так:

(8.30)