Это и есть ответ на наш вопрос. Числа а1 и а2 — это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (по отношению к оси z), если известно, что его спин направлен вдоль оси (θ,φ). [Амплитуды C1 и С2 равны просто a1 и a2, умноженным на exp(-iEIt/ℏ).
Заметьте теперь занятную вещь. Напряженность В магнитного поля нигде в (8.30) не появляется. Тот же результат, разумеется, получится в пределе, если поле В устремить к нулю. Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином 1/2, подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином 1/2 амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна—Герлаха.
Пусть |+z> представляет состояние со спином, направленным по оси z вверх, а |-z> — состояние со спином вниз. Если |+z'> представляет состояние со спином, направленным вверх по оси z', образующей с осью z углы θ и φ, то в обозначениях гл. 3 мы имеем
(8.31)
Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)]. (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)
Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении z, а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации |ψ>=|1>C1+|2>С2. Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями |1> и |2>. Значит, С1 и С2 меняются только по фазе. Мы знаем, что
и
Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале С1 и С2 были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав Т секунд, новые С1 и С2 мы получим из прежних умножением соответственно на exp(iμBzT/ℏ) и exp(-iμBzT/ℏ). Что это будут за состояния? Узнать это легко, ведь это все равно, что изменить угол φ, вычтя из него 2μBzT/ℏ, и не трогать угол θ.
Это значит, что к концу интервала времени Т состояние |ψ> будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличающемся от первоначального только поворотом вокруг оси z на угол Δφ=2μBzT/ℏ. Раз этот угол пропорционален Т, то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси z с угловой скоростью 2μBz/ℏ. Этот результат мы уже получали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.
Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном поле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это означает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы (H11+H22) было равно нулю (так что H11=-H22). И тогда любая задача о такой системе формально совпадет с задачей об электроне в магнитном поле. Вам нужно будет только отождествить —μBz с H11, а -μ(Вх-iBy ) с H12. И неважно, какая физика там была первоначально — молекула ли аммиака или что другое, — вы можете перевести ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях.
А общее решение для электронов у нас есть! Пусть вначале электрон обладает определенным состоянием, в котором спин направлен вверх по некоторому направлению, а магнитное поле В — в какую-то другую сторону. Вращайте просто направление спина вокруг оси В с векторной угловой скоростью ω(t), равной некоторой константе, умноженной на вектор В (а именно ω=2μВ/ℏ). Если В меняется со временем, двигайте по-прежнему ось вращения так, чтобы она оставалась параллельной В, и изменяйте скорость вращения так, чтобы она все время была пропорциональна напряженности В (фиг. 8.11).
Фиг. 8.11. Направление спина электрона в изменяющемся магнитном поле В(t) прецессирует с частomoй ω(t) вокруг оси, параллельной В.
Если все время это делать, вы остановитесь на какой-то конечной ориентации спиновой оси, и амплитуды С1 и С2 получатся просто как ее проекции [при помощи (8.30)] на вашу систему координат.
