Больцано осознал, что семейство натуральных чисел — подлинный объект, актуальная бесконечность, которую он мог использовать для количественной оценки других бесконечностей. Он понял:
Больцано начал играть на своей бесконечной игровой площадке. Двумя веками ранее Галилей открыл парадокс, продемонстрировав взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством квадратов. Но Больцано пошел дальше. Он обратился к континууму и обнаружил собственный парадокс: чешский математик показал, что между 0 и 1 находится столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2. Он сделал это примерно так. Математик начал с меньшего интервала от 0 до 1 и удвоил каждое число. Например, 0 → 0, 0,25 → 0,5, 0,75 → 1,5, 1 → 2 и т. д. Это дало ему новое множество чисел, которое заполнило все пространство между 0 и 2. Он также понял, что может обратить эту процедуру: перейти от большего интервала к меньшему путем деления каждого числа пополам. Все это может показаться очевидным, однако Больцано создал простое взаимно однозначное соответствие между двумя континуальными множествами — точно так же, как это сделал Галилей со множеством натуральных чисел и квадратов. Используя логику взаимно однозначного соответствия, мы можем утверждать, что между 0 и 1 имеется столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2, или 0 и числом TREE(3), или даже между гуголом и числом Грэма.
Галилей не стал говорить, что его бесконечные множества одинаково велики, хотя это и верно. Больцано был настолько же осторожен со своими континуумами. Хотя взаимно однозначное соответствие заставляло предположить, что между 0 и 1 находится столько же чисел, сколько между 0 и 2, он не мог в это поверить. Именно эти сомнения и помешали ему пойти дальше. Больцано умер до того, как на его работу всерьез обратили внимание. Тем временем в схватку за бесконечность вступили другие видные математики, и к середине XIX века почва была уже подготовлена. Галилей и Больцано рискнули прикоснуться к бесконечности, но небес достиг Георг Кантор. Он поднялся и пошел посреди бесконечного так, как никто и представить себе не мог.
«Посему не судите никак прежде времени, пока не придет Господь, который и осветит скрытое во мраке»[157].
Эта фраза стоит в начале одной из последних публикаций Кантора, вышедшей в 1895 году. Она взята из Первого послания к Коринфянам, включенного в Новый Завет, и выдает веру Кантора в божественность своей задачи. Кантор полагал, что именно Бог привел его в этот бесконечный рай, в этот бесконечный ад. Именно Бог общался с ним, подарив ему алеф и омегу. Здесь есть даже отголоски Откровения: «Я есмь Альфа и Омега, начало и конец, первый и последний»[158].
Легко отмахнуться от этого как от религиозного бреда. Возможно, так и бывало, однако Кантор вдохновлялся своими религиозными поисками. Когда окружающие нападали на него за безрассудное отношение к бесконечности, называя шарлатаном и развратителем молодежи, Кантор стоял на своем, ободряемый верой. У него хватило мужества бросить вызов бесконечности, и он победил. Но он и проиграл. Размах собственных исканий измучил ученого, и он погрузился в глубокую депрессию, из которой потом уже не выбрался.
Кантор начал с того, что согласился с утверждением, которое так и не приняли полностью Галилей и Больцано: если у двух множеств есть взаимно однозначное соответствие, то они одинаковы по величине. В случае конечных множеств это не вызывает никаких споров. Возьмем, например, четырех всадников Апокалипсиса:
{Смерть, Голод, Чума, Война}
и другое множество, известное как Beatles:
{Джон, Пол, Джордж, Ринго}.
