Удивительные числа Вселенной полностью

Эти два множества легко сопоставить взаимно однозначно: например, Смерть соответствует Джону, Голод — Полу, Чума — Джорджу, а Война — Ринго. В таком способе сопоставления нет ничего особенного — с равным успехом мы могли бы сопоставить Смерть и Пола, Голод и Джона. Важно то, что каждому всаднику соответствует отдельный участник группы и наоборот: никто не остается без пары. Все это прекрасно работает, потому что Beatles и четыре всадника Апокалипсиса — явно множества одного размера. Как мы уже видели, в случае бесконечных множеств все несколько сложнее. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством квадратных чисел и множеством целых, хотя первое выглядит меньше. Однако Кантор понимал, что видимость иногда обманчива, особенно когда речь идет о бесконечности.

Математика — игра, в которой вы устанавливаете собственные правила, и, пока они не сталкиваются с какими-либо логическими несоответствиями, вы всегда можете действовать. Кантор определил размер множества через его мощность, или кардинальное число. Beatles и всадники Апокалипсиса — это множества, имеющие мощность 4, потому что мы можем взаимно однозначно сопоставить их элементы и первые четыре натуральных числа {0, 1, 2, 3} (помните: большинство математиков предпочитают начинать отсчет с нуля).

Множество команд Премьер-лиги имеет мощность 20, потому что мы можем сопоставить их с первыми двадцатью натуральными числами {0, 1, 2, 3, …, 18, 19}. А как насчет наших бесконечных множеств? Из-за наличия взаимно однозначного соответствия Кантор понял, что множество всех квадратов {0, 1, 4, 9…} должно иметь такую же мощность, что и множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3…}.

Но сколько там чисел? Какова мощность этого множества?

Это не 4, не 20 и даже не TREE(3). Это должно быть нечто большее, нечто более бесконечное. Кантор решил назвать его алеф ноль — , взяв первую букву еврейского алфавита. Ноль в индексе намекает, что это только первая наша бесконечность — дальше их будет еще много. Пока же наберитесь терпения. Если эту первую бесконечность определить как мощность множества натуральных чисел, то благодаря взаимно однозначному соответствию она также будет мощностью множества всех квадратов, четных чисел, чисел, кратных числу Грэма, степеней числа TREE(3). С помощью замечательного математического трюка Кантор показал, что такова же и мощность множества рациональных чисел — тех, которые можно записать в виде отношения двух целых чисел.

Посмотрим, как он это сделал.

Кантор начал свое доказательство, выписав все дроби в определенном порядке.

Если продолжить эту таблицу во всех направлениях, она будет включать все рациональные числа. Конечно, в ней окажется много повторов, но мы с этим справимся. Вопрос в том, можем ли мы взаимно однозначно сопоставить все различные числа в этой таблице со множеством целых чисел? Для начала вы можете попробовать сделать это для одной строки, сопоставляя последовательно дроби и целые числа. Например, если вы возьмете вторую строку, то напишете следующее:

Но эта стратегия не работает: вы не сможете перейти к другой строке, поскольку все целые числа уйдут на эту. Кантор придумал гораздо более удачную идею. Он решил идти по таблице змейкой, постепенно продвигаясь вдоль диагонали и пропуская при этом повторяющиеся числа (выделены серым).

Это действительно удивительно умная идея. Стратегия Кантора никогда не подведет, и по мере движения по таблице каждая дробь сопоставляется с каким-то натуральным числом. Итак, доказано, что мощность рациональных чисел равна .

Понятие мощности множеств дает нам возможность говорить о числах. На самом деле мы говорим о кардинальных числах — вскоре мы встретимся с другим типом чисел. Кардинальные числа — способ сказать, сколько вещей у вас есть. Они включают в себя все конечные числа, например 0, 1, 2, 3, и, конечно, нашу первую бесконечность . Но можем ли мы пойти дальше? Можем ли получить число, которое больше, чем ?

Как насчет  + 1?

Чтобы понять, что это, возьмем бесконечное множество резиновых уточек с бесконечным числом рисунков на них, по одной для каждого натурального числа:

Ясно, что их . Чтобы получить  + 1, мы добавляем еще одну уточку, предположим белую. Неважно, куда мы ее поместим, — например, поставим в начало и сдвинем всех остальных на 1:

Сколько у нас сейчас уток? Каждой соответствует какое-то целое число, так что их должно быть . Иными словами, получается, что  + 1 = . Странно. Как насчет  + ? Для этого мы возьмем два бесконечных множества уток, каждое размером , но на этот раз пометим одно из них четными номерами:

а другое — нечетными:

Объединим два множества:

и получим, что  +  = . Все это немного странно. Мы видим то, чего не бывает с конечными числами. Но почему так? Потому что мы сейчас находимся в царстве бесконечности.