Удивительные числа Вселенной полностью

Когда мы добавляли белую утку в нашем предыдущем рассуждении, нас не заботил порядок, поэтому мы просто посадили ее рядом с черной и передвинули всех остальных на единицу. В итоге мы показали, что  + 1 = . Но теперь нам важен порядок, ведь это соревнование! Белая утка финишировала последней, позади всех остальных, так что ее нельзя просто поставить впереди. Какое число мы должны ей присвоить? Это не может быть ни одно из натуральных чисел, потому что все они израсходованы; следовательно, это должно быть следующее число из списка, то есть ω. Поскольку порядок имеет значение, ясно, что две наши гонки весьма различаются. Множество натуральных чисел — не то же самое, что множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху, иными словами, ω + 1 — не то же самое, что ω.

Мы можем продолжить восхождение. После ω + 1 идет ω + 2, снова определяемое в терминах порядковых номеров, которые были раньше:

Кажется, что мы дотянулись до небес, добравшись до новой лестницы: от ω + 2 к ω + 3 и т. д., пока не найдем новый уровень неба в ω + + ω. Обычно это записывают как ω × 2 и определяют как множество

Мы можем продолжать подъем ко все более высоким небесам, вплоть до ω × 3 и ω × 4 и т. д., пока не дойдем до предела ω × ω, который наиболее здравомыслящие люди называют попросту ω². Теперь мы достигли бесконечного количества уровней бесконечных небес. Но мы можем продолжать. Двигаясь так же, как и раньше, мы достигаем ω³, затем ω⁴ и в конце концов доходим до очередного предела — экспоненциально высокого неба, которое мы запишем как ω^ω.

Теперь включим ускорители.

После ω^ω мы можем представить восхождение все выше, и выше, и выше — к башне из степеней ω, которая имеет ω этажей высоты:

Как мы видели в главе «Число Грэма», такие башни удобнее записывать с помощью наших двойных стрелок, и мы получаем ω ↑ ↑ ω. Отсюда мы переходим к числу

затем к ω ↑⁴ ω и т. д., пока мы не достигнем еще одного исполинского предела, ω ↑^ω ω — небесного левиафана, подобно Богу возвышающегося над всем, что было прежде.

А помните, как вы думали, что число Грэма — это очень большое число?

Но мы еще не закончили.

Самое забавное, что ω + 1 на самом деле не больше ω; оно просто идет следующим. Мощность соответствующего множества ω + 1 = = {0, 1, 2, 3, …; ω} по-прежнему равна . Чтобы доказать это, вам просто нужно сопоставить элементы ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} с натуральными числами. Это просто: вы сопоставляете ω и 0; 0 и 1; 1 и 2; 2 и 3 и т. д. Точно так же подъем до ω + 1 или даже до ω ↑^ω ω приводит нас ко все более высоким бесконечностям, стоящим выше в списке, но не к большим бесконечностям. Все они имеют ту же мощность — алеф ноль, .

А потом это происходит.

На поистине невообразимой высоте Кантор показал, что должен существовать новый тип ординала, отличный от всего, что было прежде. Не очевидно, что он вообще должен существовать, но он существует. Кантор обнаружил, что большие бесконечности скрыты в континууме, во множестве всех действительных чисел, включающем рациональные, которые можно записать в виде дробей, и иррациональные числа, такие как √2, которые записать таким образом нельзя[159]. Математик продемонстрировал, что континуум находится за пределами нашего умения считать — один, два, три, четыре… Его мощность больше, чем алеф ноль.

Давайте спросим, сколько действительных чисел находится в континууме между 0 и 1. Понятно, что бесконечно много, но это алеф ноль или действительно что-то большее? Вот как это выяснял Кантор. Предположим, что континуум счетен и, следовательно, можно установить взаимно однозначное соответствие между числами из него и натуральными числами. Это значит, что мы можем записать все числа континуума в бесконечный список размера . Порядок не имеет значения, так что мы просто начинаем перечислять все числа от нуля до единицы в случайном порядке:

Чтобы доказать, что континуум больше , Кантор продемонстрировал, что этот список не может охватить все числа. Он выделил цифры, стоящие на диагонали: