Когда Даниил Бернулли переехал в Петербург, он обещал устроить Леонгарда в Академию. Юноша отправился туда в возрасте двадцати лет, а когда Даниил покинул Россию (1733), Эйлер сменил его на посту главы математической секции. Он поразил своих коллег-академиков, вычислив за три дня астрономические таблицы, на составление которых должно было уйти несколько месяцев. Над этой и другими задачами он работал так напряженно, днем и ночью, при плохом освещении, что в 1735 году потерял зрение правого глаза. Он женился и сразу же начал прибавлять и умножать, в то время как смерть вычитала; из тринадцати его детей восемь умерли молодыми. Его собственная жизнь была небезопасна в столице, охваченной политическими интригами и убийствами. В 1741 году он принял приглашение Фридриха Великого вступить в Берлинскую академию; там в 1759 году он сменил Мопертюи на посту главного математика. Матери Фридриха он понравился, но показался ей странно сдержанным. «Почему вы не разговариваете со мной?» — спросила она. «Мадам, — ответил он, — я родом из страны, где если ты заговоришь, тебя повесят». Однако русские умели быть джентльменами. Они продолжали выплачивать ему жалованье еще долгое время после его отъезда; а когда русская армия, вторгшаяся в Бранденбург, разграбила хозяйство Эйлера, генерал выплатил ему солидную компенсацию, а императрица Елизавета Петровна добавила к этой сумме еще одну.
История науки чтит Эйлера прежде всего за его работы по исчислению, и особенно за систематическое изложение вариационного исчисления. Он развил геометрию и тригонометрию как отрасли анализа. Он первым отчетливо представил понятие математической функции, которое сегодня является сердцем математики. В механике он сформулировал общие уравнения, которые до сих пор носят его имя. В оптике он первым применил исчисление к колебаниям света и сформулировал кривую колебаний как зависящую от упругости и плотности. Он вывел законы преломления аналитическим путем и провел исследования дисперсии света, которые подготовили создание ахроматических линз. Он участвовал в международном предприятии по определению долготы на море путем составления карт положения планет и фаз Луны; его приблизительное решение помогло Джону Харрисону составить успешные лунные таблицы для британского Адмиралтейства.
В 1766 году Екатерина Великая попросила Эйлера вернуться в Петербург. Он вернулся, и она обошлась с ним по-королевски. Вскоре после приезда он полностью ослеп. Его память была настолько точна, а скорость вычислений так велика, что он продолжал работать почти так же активно, как и раньше. Теперь он диктовал свое «Полное введение в алгебру» молодому портному, который, когда это началось, не знал о математике ничего, кроме простого счета; эта книга придала алгебре ту форму, которую она сохранила до нашего времени. В 1771 году пожар уничтожил дом Эйлера; слепого математика спас из пламени его товарищ, швейцарец из Базеля Петер Гримм, который вынес его на своих плечах в безопасное место. Эйлер умер в 1783 году в возрасте семидесяти шести лет от инсульта, полученного во время игры с внуком.
Лишь один человек превзошел его в своем веке и в науке, и это был его протеже. Жозеф Луи Лагранж был одним из одиннадцати детей, родившихся у французской пары, проживавшей в Турине; из этих одиннадцати только он один пережил младенчество. От классики к науке его отвратило чтение мемуаров, адресованных Галлеем Лондонскому королевскому обществу; он сразу же посвятил себя математике, и вскоре добился такого успеха, что в восемнадцать лет стал профессором геометрии в Туринской артиллерийской академии. Из своих учеников, почти все из которых были старше его самого, он организовал научное общество, которое переросло в Туринскую академию наук. В девятнадцать лет он отправил Эйлеру новый метод обработки вариационного исчисления; Эйлер ответил, что этот метод решает трудности, которые он сам не смог преодолеть. Любезный швейцарец не стал обнародовать свои собственные результаты, «чтобы не лишить вас части славы, которая вам причитается». Лагранж изложил свой метод в первом томе, выпущенном Туринской академией (1759). Эйлер в своем мемуаре, посвященном вариационному исчислению, отдал должное молодому человеку; в том же 1759 году он избрал его иностранным членом Берлинской академии в возрасте двадцати трех лет. Когда Эйлер покинул Пруссию, он рекомендовал Лагранжа в качестве своего преемника в Академии; д'Алембер горячо поддержал это предложение, и в 1766 году Лагранж переехал в Берлин. Он приветствовал Фридриха II как «величайшего короля Европы», а Фридрих приветствовал его как «величайшего математика Европы». Это было преждевременно, но вскоре стало правдой. Дружеские отношения между ведущими математиками XVIII века — Эйлером, Лагранжем, Клейро, д'Алембером и Лежандром — стали приятным эпизодом в истории науки.
