- Ты, наверно, знаешь, что такое граммофонная пластинка?
- Еще бы! - отвечал Илья не без удивления. - У нас их очень много.
- Очень хорошо - одобрил Радикс. - А теперь скажи, пожалуйста, какую кривую описывает иголка звукоснимателя, когда она бежит по бороздке пластинки?
- Папа говорит, что это спираль...
- Верно. Так эту самую спираль и нашел Архимед. Она так и называется "спираль Архимеда". Точка чертит спираль.
- А как она чертит? Я понимаю, как иголка бежит по пластинке. Но как это получается с точкой?
- В проигрывателе пластинка вращается. Но в нашем опыте мы ее оставим неподвижной, а в центре укрепим отрезок прямой и, пользуясь нашими волшебными возможностями, прикажем отрезку: вращайся вокруг этой средней точки против часовой стрелки (это направление мы будем считать положительным), но при этом увеличивайся в длине в соответствии с углом, на который ты повернулся. Чтобы нам удобней отсчитывать вращение отрезка, мы направо от точки в середине проведем горизонтальную прямую и назовем ее полярной осью. Пока отрезок - радиус-вектор - будет еще лежать на полярной оси, угол его с ней равен нулю, а затем он будет увеличиваться. Итак, вперед!
- 314 -
Тотчас в полутьме возникло все, что заказал Радикс: в середине светилась оранжевая точка, а от нее направо шла розовая полярная ось. Что-то очень маленькое лежало на этой оси...
- А, Мнимий Радиксович! Мое почтение! - воскликнул Илюша.
И Мнимий, возникший из средней точки, стал вращаться, постепенно вырастая, и своим кончиком чертить спираль Архимеда. Описав несколько витков, Мнимий исчез, а спираль так и осталась висеть в воздухе.
- Эта спираль, - сказал Коникос, - умеет делить как угодно любые углы. А с ее помощью Архимед даже построил очень точно длину, окружности.
- Длину окружности? - воскликнул Илюша. - Да ведь это что-то вроде квадратуры круга! Разве это можно?
- Для такой умницы спирали оказалось возможным, - произнес Коникос[25].
- Так вот каким образом греки, решая геометрические задачи, пришли, во-первых, к новым основаниям для геометрических суждений и убедились до некоторой степени, что геометрия не такова, какой они себе ее представляли; во-вторых, они пришли к новым кривым, неизвестным египетским вервиетягателям, о которых вспоминал Демокрит. Именно его атомистическая теория, кстати сказать, и привела к новым удивительнейшим открытиям в математике.
- Как же это так? - спросил Илюша. - Ведь атомы - это касается физики и химии. А при чем здесь математика?
- 315 -
- Мы уже говорили о том, как связана математика с изучением природы, поэтому вполне естественно, что человек, который пришел к убеждению, что весь мир состоит из атомов, начинает думать и о том, что геометрические образы, то есть кривые, площади, объемы, тоже как бы составлены из некоторых элементарных частиц. Кроме того, в таком деле играет очень большую роль опыт. В одном своем сочинении Архимед рассказывает, что Демокрит нашел объем конуса и показал, что его объем равен одной трети объема цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Проверить это на практике, то есть путем опыта, ровно ничего не составляет.
Любой слесарь сделает тебе цилиндр, то есть ведерко, и конус.
Налей в ведерко воды, смеряй конусом, сколько ее там, и найдешь это соотношение. Вот что говорит тебе опыт. Если не поверишь первому опыту, можешь повторить его, сделав цилиндр и конус, например, с другим основанием. И снова ты убедишься, что соотношение это правильно. Необходимо только найти логический способ, которым можно это доказать без участия слесаря.
- Значит, Демокрит раньше теоремы своей уже знал это решение? - спросил заинтересованный Илюша.
- Возможно, что и так. Возможно и обратное. Может быть, он сперва вывел свою теорему, а потом проверил ее на опыте. Но еще более вероятно, что он узнал ее от слесаря, кузнеца или медника, которые благодаря своему ремеслу сталкивались с такого рода соотношениями уже не раз. Кстати сказать, теорема эта была доказана со всей необходимой строгостью гораздо позже Демокрита. Весь вопрос заключался в том, чтобы вывести это - такое простое на вид -соотношение теоретически. И я не знаю, с чего начал Демокрит: атомистическая ли теория привела его к этому решению или это решение привело его к мысли об атомах.
- Как это интересно! - воскликнул Илюша. - Значит, у них и физика, и философия, и геометрия - все было вместе?
- Конечно. Над входом в одну греческую академию было написано: "Да не входит сюда никто, кто не знает геометрии!"
- А как Демокрит решил эту задачу?
