- Решил он ее вот как. Он предположил, что конус можно весь разрезать на очень тоненькие кружочки, если резать параллельно основанию, то есть на цилиндрики с очень малой высотой. Правило, по которому изменяется диаметр кружков, вывести не очень трудно. Мы этого пока еще делать не будем, так как сейчас речь не о выводе формулы, а о способе рассуждения, с помощью которого ее можно вывести. Теперь допустим, что цилиндриков не только очень много и толщина их ничтожно мала, но что число их безгранично увеличивается, а толщина тем же порядком уменьшается. Конус заменяется ступенчатой фигурой из кружков. Конечно, это ступенчатое тело не есть конус, но чем дальше я буду уменьшать толщину кружков, которых будет накопляться все больше и больше, тем меньше это ступенчатое тело будет отличаться от конуса.
- 316 -
Допустим, что высота конуса равна 500 мм, а цилиндрики, на которые его режем, сделаны из бумаги, толщина которой примерно равна 0,05 мм, следовательно, всего в конусе их будет десять тысяч. Вряд ли такой конус, склеенный из десяти тысяч листов бумаги, можно отличить от сделанного, скажем, из гипса. А так как объемы цилиндров определить нетрудно, то таким путем мы определим и объем конуса.
- Что-то я плохо понимаю, - грустно сказал Илюша.
- Ничего! Не падай духом! Слушан хорошенько и понемногу поймешь, - подбодрил его Радикс. - Ясно, что когда я заменяю маленький усеченный конус маленьким цилиндром, то делаю ошибку. Но эта ошибка, вычисленная в процентном отношении к измеряемой величине (так называемая "относительная ошибка"), будет сколь угодно мала. Ведь можно взять настолько тонкие кружки, что объем, которым я пренебрегаю, составит, например, менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к объему конусика (или цилиндрика; считай как хочешь, это неважно). Но раз это так, то нетрудно сообразить, что если суммировать цилиндрики, то и искомый объем большого конуса тоже будет с той же относительной ошибкой, то есть менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к истинному объему. Следишь ли ты за развитием моего рассуждения?
- Да-да! - ответил поспешно мальчик. - Слежу и пока, кажется, все понимаю.
- Приятно слышать. Ну, слушай далее! Итак, если конус высотой в метр делить на кружки, толщина которых равна одному микрону, то есть тысячной доле миллиметра, то велика ли - опять-таки в процентах! - будет разница между объемом кружка и объемом усеченного конусика, на которые делится конус, если действовать совершенно точно?
- Нет, - ответил Илюша. - Раз каждый кружок будет толщиной в микрон, то наверно разницу-то и заметить будет невозможно.
- Справедливо, - отвечал Асимптотос. - Но ведь у нас нет надобности резать на самом деле конус на кружки, нам достаточно только вообразить это, ибо мы это делаем только для рассуждения, а если так, то никто не мешает нам допустить, что мы будем разрезать каждый кружок в тысячную долю миллиметра толщиной еще на миллион сверхтончайших кружков.
- 317 -
Как ты тогда обнаружишь разницу между объемом кружка и элементарного усеченного конусика? А ведь в рассуждении я могу повторять мое деление на миллион еще любое число раз. Этот метод деления объема на крайне малые объемы назывался в древности "методом исчерпания", ибо такими крохотными объемами мы как бы "исчерпываем" данный объем.
- Значит, - сказал Илюша, - мы будем все делить и делить, и "высота-толщина" цилиндрика-кружка будет изменяться...
- Как и полагается переменной величине! - сообщил многозначительно Радикс.
- Ну да, - отвечал Илюша, - конечно, если она все время меняется, то ясно, что это величина переменная. И так она изменяется, уменьшаясь и приближаясь, - я думаю, здесь можно сказать - к некоторому пределу?
- Разумеется, - отвечал Асимптотос, - так сказать не только можно, но даже и должно. Но вот вопрос: к какому именно пределу стремится эта твоя "высота-толщина"?
- Мне кажется, - осторожно произнес Илюша, - что если она будет уменьшаться все больше и больше, то естественно, что пределом ее будет нуль.
- А мы уже говорили в Схолии Двенадцатой, - заметил Радикс, - что если переменная величина имеет своим пределом нуль, то мы называем ее бесконечно малой. А это обозначает, что какое бы малое положительное число ни задать, в течение ее изменений наступит момент, начиная с которого ее абсолютная величина станет и будет оставаться меньше этого числа.
- Это я понимаю, - отвечал Илюша. - Но ведь это еще не все. А что же делается в это время с числом кружков-цилиндриков? .. Мне кажется, что число их в это время растет безгранично.
