- Параболу третьего порядка, кубическую, и так далее.
Но мы не будем останавливаться на этом, а поговорим об открытии Ньютона. Причем принцип, о котором мы говорим, был известен еще учителю Ньютона, замечательному английскому математику Барроу, однако значение этого принципа не было еще тогда ясно. Это было одно из самых удивительных открытий в математике. Но, мало этого, в дальнейшем выяснились еще более поразительные вещи. Оказалось, что в большинстве случаев закон изменения для бесконечно малых частиц кривой вообще гораздо проще, чем для конечных изменений! Кривая скоростей, как мы только что видели, проще кривой пройденного пути. В физике мы, изучая плотность неоднородного тела, из тех же соображений можем принимать, что в некотором неограниченном уменьшающемся кубике плотность эта остается постоянной. То же самое возможно при изучении распределения тепловой или электрической энергии, количества истекшей из сосуда жидкости и так далее.
- 343 -
Если, например, надо вычислить длину дуги кривой, то рассматривают бесконечно малые отрезки дуги. А для бесконечно малых отрезков дуги можно считать, что на таком ничтожно малом отрезке кривая идет по прямой. А если так, то на бесконечно малом отрезке кривой строим прямоугольный треугольник, катетами которого будут бесконечно малые приращения икса и игрека, а гипотенузой - крохотный отрезок прямой, которым в бесконечно малом заменяют отрезочек дуги. Но гипотенузу прямоугольного треугольника можно получить по теореме Пифагора, а дальше надо только сложить все эти бесконечно малые гипотенузочки, и получится в пределе точная длина кривой. Опыт показывает, что это путь правильный!
Так как с первого взгляда все-таки довольно трудно понять, как это возможно, заменяя маленькую дугу отрезком прямой, прийти к правильным результатам, я приведу тебе одно очень полезное рассуждение Ньютона, которое называют микроскопом Ньютона. Допустим, что когда мы начертим все это, то катет АС равен двадцати пяти сантиметрам.
Теперь я уменьшаю величину АС в миллион раз.
Уменьшение это касается только самого треугольничка, то есть его катетов и гипотенузы, а дуга как была, так и остается.
Очевидно, что при этом точка В будет просто скользить по измеряемой дуге. Итак, я уменьшил треугольник. А теперь я опять его увеличиваю на этот раз вместе с участком дуги снова в миллион раз, и он снова равен двадцати пяти сантиметрам. Но зато сама дуга, а ведь она-то нас больше всего интересует, теперь уже гораздо больше похожа на гипотенузу. Их еле можно отличить друг от друга. И снова я уменьшаю полученный треугольник, но на этот раз в миллион миллионов раз, а затем опять увеличиваю так, чтобы катет АС был равен двадцати пяти сантиметрам. Теперь уже ясно видно, что дуга и гипотенуза слились воедино и отличить их друг от друга невозможно. Так как ясно, что этот процесс уменьшения и рассматривания в новый, еще более сильный "микроскоп" я могу повторять столько раз, сколько мне заблагорассудится, то очевидно, что мы, уменьшая размеры приращений, можем приблизиться с нашим отрезком прямой сколь угодно близко к искомой длине дуги... Теперь начинается самое значительное и самое интересное. Слушай внимательно! Если ты изучаешь некий физический закон и не можешь его из-за сложности формулировать...
- 344 -
В это время сзади Илюши раздалось робкое, однако настойчивое покашливание. Мальчик обернулся и увидел маленького старичка с бородой, в темных очках. Он вежливо приподнял шляпу и сказал:
- Надеюсь, что не помешал... Очень хотел бы... Меня зовут Зазубрилкин Фиолет Чернилыч. Я хотел поделиться с вами одним моим открытием. Очень упрощает прохождение курса алгебры и геометрии... Разрешите изложить?
- Пожалуйста, - ответил Илюша.
- Открытие мое, конечно, пустяковое, - произнес Фиолет Чернилыч. - Мне удалось показать, что сторона квадрата совершенно рационально выражается через его диагональ, и обратно.
- Как так? - удивился Илюша.
- Я, видите ли, сам сперва удивлялся, как это выходит, по потом убедился, что так и есть. Тут дело только в том, чтобы рассудить насчет бесконечности. Конечно, это штука довольно хитрая, но. ведь все-таки длину окружности кое-как, на троечку, вычисляем, сумму уплывающей гомерической процессии тоже...
