ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ полностью

Первый способ будем называть сложением "по прямым". При этом способе мы будем складывать сперва все числа данной полосы (ну, например, если бы сложили все восемь чисел, написанных на седьмой полосе, если считать снизу), а затем сложим и все их суммы. Второй способ мы будем называть сложением "по гномонам". В этом случае мы будем поступать так: первым слагаемым будет одно число из верхней левой клетки (шахматисты называют эту клетку "а8"), вторым - сумма чисел в клетках вертикальной полосы "b" и горизонтальной полосы седьмой вплоть до их пересечения (клетка b7) и включая оное (то есть клетки b8, b7 и а7). Всего во втором слагаемом будет, значит, три клетки. Третье слагаемое состоит из пяти чисел, находящихся в клетках вертикальной полосы "с" и в клетках горизонтальной полосы шестой до их пересечения (клетка с6) и опять-таки включая оное (то есть клетки с8, с7, с6, b6 и а6).

Все остальные слагаемые составляются по тому же принципу (затем, очевидно, пойдет гномон с клеткой пересечения "d5", затем "е4" итак далее). Теперь приступим к самому счету. Начну с того, что напишу в каждой клетке по единице. Если их считать "по прямым", то в каждой полосе будет n. А полос во всей доске тоже n. Ясно, что на всей доске получится n². Но теперь попробуем считать "по гномонам". Получим:

1;2+ 1;3 + 2;...;n + (n-1).

Сумма всех этих чисел будет, очевидно,

1+3 + 5 + ... +2n- 1.

Приравнивая сумму "по прямым" сумме "по гномонам", получаю:

1+3 + 5 + ... + 2n-1 = n²,

то есть сумма и нечетных чисел равна n². Как будто недавно мы с тобой уже встречались с этим вавилонским равенством?

- Встречались, - отвечал Илюша.

- Прелестно! -обрадовался Радикс. -Хорошо, что ты не забыл об этом. А теперь далее. Я напишу в каждой горизонтальной полосе числа от единицы до n, то есть

1, 2, 3, 4, 5, ... ,n,

и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе

(n + 1)n / 2

- 349 -

по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна

(n + 1)n² / 2

Теперь рассмотрим, каковы будут суммы "по гномонам". Ясно, что сумма чисел энного гномопа будет

n²+ (1 + 2 + 3 + ... + n-1).

Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:

n²+ n(n + 1) / 2

и окончательно:

2/3n² - (1/2)n

Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2,3... и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:

3/2 • 1² - 1/2 • 1

3/2 • 2² - 1/2 • 2

3/2 • 3² - 1/2 • 3

.........

.........

3/2 • n² - 1/2 • n

Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:

3/2 • S₂ - 1/2 • S

где S₂ есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S - сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму "по прямым" сумме "по гномонам", получаю:

3/2 • S₂ - 1/2 • S = n²(n + 1) / 2

- 350 -

а отсюда определяю, чему равняется S2 и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:

S₂ = (2n + 1)(n + 1)n / 6.

Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:

y = х²,

и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.

Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет

h = b / n

Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b/n, а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как

h², h2²h², 3²h², ... , n²h²,

ибо ясно, что если х равен h, то у будет равен h² и так далее.

Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны

hh², h2²h², h3²h², ... hn²h².

- 351 -

Видно, что сумма прямоугольников больше, нежели сумма трапецоидов, но при безграничном увеличении числа и искомая площадь будет пределом суммы прямоугольничков, то есть пределом следующего выражения:

h(h² + 2²h² + 3²h² + ... + n²h²) = h³(1² + 1² + 2² + 3² + ... + n²) = b³/n³(1² + 1² + 2² + 3² + ... + n²)

А так как шахматная доска уже объяснила нам, что сумма первых и квадратов натурального ряда равна

(2n + 1)(n +1)n / 6

то мы, подставляя это выражение в предыдущую формулу, после некоторых несложных переделок получим:

b³/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)

Спрашивается: что будет с этим выражением, если число и будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь.

В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в

b³/3