что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.
И тут Величайший Змии вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!
- 352 -
в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда.
Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное... Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем...
- Ну, теперь ты доволен? - спросил Радикс.
- Да, - сказал Илюша, - я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.
- Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.
- 353 -
- Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?
- Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:
r/R = h/H
где R - радиус основания, а H - высота конуса. Отсюда
r = (R/H)h
и площадь основания цилиндрика будет
πr2 = π(R2/H2)• h2
Теперь предположим, что мы делим высоту конуса на n частей.
Тогда высота каждого цилиндрика будет H/n, а последовательные расстояния оснований цилиндриков от вершины конуса, то есть радиусы этих оснований, будут
h, 2h, 3h,... nh.
Поэтому сумма объемов этих цилиндриков равна
π(R2/H2)• H/h (h2 + 22h2 + ... + n2h2) = π R2/H (12 + 22 + ... + n2) / n3
Как и в предыдущей схолии, ты убедишься, что предел последнего множителя при неограниченном возрастании n будет равен 1/3, и для объема конуса получается выражение:
1/3 π R2 H
- 354 -
Множитель 1/3 ты можешь рассматривать как лежащую на этой формуле печать Великого Змия.
- Как интересно! - сказал Илюша. - А с объемом шара можно справиться таким способом?
- Я приведу тебе только чертеж, который, по преданию,
Архимед завещал вырезать на своем надгробном памятнике.
Здесь ты видишь цилиндр, вписанный в него шар радиуса R и конус. Разбей все три тела на тонкие "цилиндрические" слои и легко установишь, что на расстоянии h от центра шара площадь поперечного сечения самого шара равна:
π (R2 - h2) = π R2 - πh2
то есть разности площадей поперечных сечений цилиндра и конуса. Суммируя объемы всех тонких цилиндрических пластинок и переходя к пределу, как мы это делали для конуса, находим, что и объем шара тоже будет равен разности объемов цилиндра и конуса. Этот закон и был открыт Архимедом.
Таким путем можно найти не только объем всего шара, но и объем любого шарового слоя. В формулы войдет опять множитель 1/3, печать Великого Змия, свидетельствующая о том, что здесь приходилось интегрировать функцию, содержащую квадрат переменной (в данном случае - квадрат высоты h).
- Очень хорошо! - отвечал мальчик. - А теперь вот еще что. Ты назвал Великого Змия развертывателем спиралей. Что это значит?
- Это значит, что путем интегрирования можно получить длину дуги любой кривой, например параболы, окружности и так далее. В частности, и длину спирали. Мы ведь уже говорили, как находится длина дуги.
- Но я должен сознаться, - вздохнув, сказал Илюша, - что до сих пор не пойму, как при помощи этой спирали получается длина окружности, то есть почти квадратура круга?
