- Конечно, история эта необычная, - отвечал Радикс. - Из-за нее в средние века долго ломали голову над вопросом квадратуры круга и ни к какому разумному заключению не пришли. Совсем запутались. Начали даже поговаривать, что геометрия - наука, может быть, не слишком точная... Вес это довольно сложно.
- 355 -
Могу рассказать лишь о самом принципе этой работы Архимеда. Дело было так. До Византии еще дошла биография Архимеда, написанная его учеником Гераклидом. Затем она была утрачена. Но ее еще читал и изучал византийский математик Евтокий, оставивший очень ценные комментарии к сочинениям Архимеда. По словам Евтокия,
Архимед дал два решения о квадратуре, причем одно из них было приближенным...
- Двадцать две седьмых! - воскликнул Илья.
- Правильно! - отвечал Радикс. - А другое решение Архимеда было точным!
- А разве это возможно?
- Слушай меня как только можешь внимательно! Я расскажу тебе, в чем заключается принцип этой работы Архимеда. А уж потом мы постараемся рассудить, что возможно и что невозможно. Здесь вся сила в том, что Архимед, построив свою спираль, ввел в античную математику еще одну, как говорили греки, "механическую" замечательную кривую, то есть такую, свойства которой не могут быть изложены средствами, близкими к элементарной геометрии (в отличие, например, от многих, хотя и не всех свойств конических сечений). Такова и квадратриса, о которой мы уже говорили (эти кривые называются "трансцендентными" кривыми). В силу этого сочинение Архимеда о спиралях и критиковалось в древности! И даже очень жестоко! Только уж в семнадцатом веке в Европе эта дивная работа Архимеда наконец была оценена по своему превосходному достоинству. Нужны были новые основания, новый подход к пониманию для такой кривой, и гений Архимеда нашел их. Эти новые основания и были дифференциальным подходом к изучению кривой, то есть тонким изучением скорости изменения некоторых связанных с ней отрезков. И делается это опять-таки через ту же касательную.
Этот метод восходит к методу исчерпания Евдокса, но еще сильнее его. Он просто берет, как говорится, быка за рога.
Слушай далее, и ты поймешь, в чем тут дело. Итак, самым главным в работе Архимеда была задача провести касательную к этой новой своеобразной кривой, которую он назвал спиралью. Она, как и квадратриса, построена с помощью двух движений. Первое - это вращение радиуса-вектора (именно так называется тот отрезок прямой, о котором мы уже вспоминали в Схолии Пятнадцатой; его конец чертит нашу спираль), второе - рост этого радиуса-вектора пропорционально углу, на который повернулся вектор. Длина радиуса-вектора и угол его поворота называются полярными координатами точки, являющейся концом радиуса-вектора. Догадываешься, почему эти величины можно называть координатами?
- 356 -
- Кажется, догадываюсь... Я думаю, что с помощью радиуса-вектора, зная его начало, то есть полюс всего этого построения, и зная угол, под которым радиус-вектор находится по отношению к полярной оси, и его длину, можно определить любую точку на плоскости. Вот и выходит, что это координаты!
- Правильно, - подтвердил Радикс, - теперь слушай дальше. Построим с тобой касательную к спирали в заданной точке, причем будем учитывать направление движения спирали, то есть либо от полярной осп против часовой стрелки, либо обратно. Первое из этих направлений мы будем считать положительным...
- Постой! - прервал его Илюша. - Например, граммофонная пластинка вращается по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, а если бы мы поместили наш радиус-вектор в самую середину пластинки да еще заставили бы его обегать пластинку, начиная не с края, как обычно делается, а с серединки (где полагается находиться полюсу полярных координат), то он бы вращался в положительном направлении... Только всю музыку он сыграл бы сзади наперед! Но ведь нам сейчас это неважно. Так я говорю?
- Ты говоришь верно. Итак, если мы построим эту касательную, а через полюс системы координат - перпендикуляр к радиусу-вектору, а другой перпендикуляр к касательной через точку касания (а этот перпендикуляр, как ты знаешь, называется "нормалью") и заметим точки m и N, в которых пересекаются с первым перпендикуляром касательная и нормаль, то отрезок ОТ будет полярной подкасательной, а отрезок ON - полярной поднормалью. Многие кривые могут быть полностью охарактеризованы отношениями их важнейших характеристик, то есть: касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Закон изменения этих характеристик заключает в себе нечто постоянное, что и является смыслом и существом рассматриваемой кривой.
- 357 -
