Карлики мигом выстроились в одну линию, причем человечек Разность суетился, мелькая между ними и расставляя их по порядку. Толстая женщина уныло стояла в сторонке, не принимая в этой веселой толкотне никакого участия.
Когда карлики выстроились, на их красивых кафтанчиках вдруг появились блестящие буквы:
a1, a2, a3, a4, a5, ... , an-1, an.
- Это обозначения членов прогрессии. Можно было бы, конечно, их пометить просто буквами а, b, с и так далее, но азбука ведь довольно коротенькая, а номеров у нас сколько хотите, - пояснил человечек Разность - Энный член-это последний, "зн минус первый" - предпоследний, "эн минус второй" - третий с конца. Вот и все.
Тут же все буквы исчезли, а на кафтанчиках карликов появилась та самая прогрессия, которую недавно писал Илюша:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...
Потом карлики вдруг быстро стали парами. Единица стала в пару с девятнадцатью, тройка с семнадцатью, пятерка с пятнадцатью, семерка с тринадцатью, а девятка с одиннадцатью.
Илюша посмотрел с удивлением и тут же заметил, что если взять некоего карлика от начала ряда, а потом найти ему пару, отсчитав то же число с другого конца, то сколько таких пар ни составляй, все они дадут в сумме одно и то же число. Снова у карликов цифры заменились буквами, и Илюша увидел, что к первой паре стоят a1 и an, во второй - a2 и an-1, в третьей - a3 и an-2, и так далее. Когда он это рассмотрел, из толпы карликов вылез какой-то невзрачный лилипут в длиннополом сюртуке, который тащил такие большие конторские счеты, что они были чуть не больше его самого, хотя, в сущности, и лилипут и счеты были очень маленькие. Он подошел к Илюше и пробормотал:
- Я - Число членов прогрессии. Понятно?
Илюша кивнул ему. Тогда карлики снова выстроились в ряд, а за ними появился совершенно такой же ряд, но только расположенный в обратном порядке. Карлики обоих рядов приблизились друг к другу и an, опять стали парами: a1 с an, a2 с an-1 и так далее. Но только теперь это произошло очень быстро, потому что им не пришлось перебегать от начала ряда к его концу, так как второй ряд уже был расположен в обратном порядке.
- 190 -
Снова буквы сменились у всех на кафтанчиках цифрами, а рядом со счетоводом появились два маленьких человечка, совершенно таких же, как первый и последний члены ряда. Счетовод Числочленов вытащил откуда-то знак равенства, весьма важно оправил свой долгополый костюм, на котором появилась цифра "10", взял под руку двух маленьких человечков и стал рядом с ними по левую сторону знака равенства. Справа же стояли парами два ряда карликов. Счетовод взмахнул рукой, и один из рядов исчез, но одновременно крайние карлики взяли в руки скобки и рядом появился человечек с надписью "2". Получилось равенство:
10•(1 + 19) =2•(1+3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+ 15+ 17+ 19)
Илюша посмотрел и сообразил: из каждой пары членов получается 20, членов всех десять - выйдет 200. Это с правой стороны. А с левой счетовод Числочленов равен десяти, а сумма пары 1 и 19 (которая равна сумме любой пары, если пары подбираются, как было сказано выше) дает 20. Десять умножим на двадцать - опять получим 200. Все правильно!
Затем счетовод Числочленов вытащил из своего долгополого сюртучка предлинную черту, посмотрел на нее, расправил, потом положил на пол, и все трое из левой части равенства стали на нее. Засим он поманил пальцем человечка-двойку, который подлез под длинную черту и, оказавшись замечательным силачом, приподнял всю левую часть над собой.
Толстая женщина подошла к ним, а карлики отошли в сторону. Илюша хотел было спросить у этой толстухи, кто она такая, но она проскрипела:
- Я - Сумма. А ты и не признал!
И на ее платье показалась цифра "100".
Илюша сильно покраснел, но ничего не сказал. Перед ним стояло равенство:
[10•(1 + 19)] / 2 = 100.
- 191 -
Все было правильно. Затем цифры быстро сменились буквами, и получилась формула:
S = [ n (a1 + an) ] / 2
Илюша внимательно посмотрел на нее и уверенно произнес:
- Сумма членов арифметической прогрессии равняется половине произведения числа членов на сумму первого и последнего членов.
Счетовод Числочленов немедленно с большой поспешностью соскочил вниз и стал засовывать свою черту в карман, страшно гремя костяшками счетов, которые он боялся выпустить из рук. Карлики крикнули все хором:
- Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!
И тотчас же все исчезло, будто вовсе не бывало.
- Ясно? - спросил его с улыбкой Радикс.
- Ясно, - ответил Илюша.
