Но в это время снова раздались многочисленные шаги, и появилась новая толпа маленьких пузатеньких человечков, однако эти вели себя гораздо более важно и церемонно, чем первые. Изумительное равнодушие и важность были написаны на их толстеньких сморщенных личиках. Из толпы отделился тощий, длинный человечек в высоком цилиндре, за ленту которого была засунута буква q. Он подошел к Илюше, кивнул и показал двумя длинными пальцами на букву q на своем цилиндре. "Наверно, это знаменатель прогрессии!" - подумал Илюша, решив, что это к ним явилась геометрическая прогрессия в полном составе. Человечек с буквой q посмотрел на него и немедленно кивнул, точно он услыхал, что подумал Илюша. Человечки неторопливо стали в ряд. На их жилетках появились сперва буквы, точь-в-точь такие же, какие были у карликов; a1, a2, a3 и так далее до an. А затем буквы исчезли и появились цифры: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192.
Долговязый человечек Знаменатель вытащил из-за ленты своего цилиндра букву q, что-то к ней приладил и опять вставил за ленту, где теперь появилось:
q = 2.
"Знаменатель равен двум!" - подумал Илюша.
- 192 -
Потом человечек достал из своих необъятных карманов две скобки, поставил их с обеих сторон прогрессии, а между человечками поставил по плюсу. Затем подошел к первому члену прогрессии, без труда приподнял его и понес за скобки. Но маленький человечек сопротивлялся и вырывался из рук. По-видимому, что-то было не по правилам. Человечки в скобках тоже волновались.
Тогда Знаменатель пожал плечами и отпустил человечка с надписью "3", и тот побежал вдоль ряда. На его месте появился другой - худой, с надписью "1", и каждый из членов прогрессии, мимо которого он пробегал, моментально сменялся другим, так что, когда человечек, запыхавшись, закончил свои бег и стал рядом, вне скобок, получилось:
3•(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64).
"Ага! - подумал Илюша. - Значит, он их все сложил, а первый член вынес за скобку".
Человечек Знаменатель утвердительно кивнул Илюше.
Мальчик подумал, что этот безмолвный учитель, который обладает столь тонким слухом, что слышит даже и то, чего ты не произносил, - довольно интересная новость!
Тут же цифры на жилетках человечков заменились буквами:
a1(1 + q1 + q2 + q3 + q4 + q5 + q6 + ... + qn-2 + qn-1).
"Правильно! - решил про себя Илюша. - Просто он заменил цифры алгебраическими обозначениями. Тут в конце стоят qn-2 и qn-1 - в том смысле, что прогрессию по тому же правилу можно тянуть вправо до любого члена. А почему членов у нас n, а старший показатель q не n, а (n-1)? Ах да!
Ведь впереди есть еще единица, то есть q°. Значит, один и еще (n-1) - вот и выйдет опять ровно n. Ясно! Значит, в сумме всякой геометрической прогрессии Можно взять первый член за скобку, а в скобках останутся степени знаменателя".
Человечек Знаменатель глянул мельком на Илюшу и, заметив, что тот все понял, даже не счел нужным кивнуть ему.
- 193 -
Затем он поднял свой длиннейший указательный палец правой руки вверх, покачал им торжественно, как бы приглашая Илюшу отнестись повнимательнее к тому, что он сейчас ему покажет. После этого он взял три первых члена из скобок, поставил их перед Илюшей и снова заключил в скобки.
(1 + q + q2)
Затем Знаменатель показал Илюше на эту тройку знаков и выразил на своем лице некое недоумение, как бы приглашая Илюшу объяснить: что он перед ним поставил? Илюша посмотрел на него, потом на троих человечков и ничего не мог придумать. Знаменатель недовольно нахмурился, сделал знак человечкам, и тогда первый и третий поменялись местами. Знаменатель снова сделал недоуменную мину и опять показал Илюше на тройку приятелей. Илюша посмотрел. Перед ним стояло:
(q2 + q + 1)
Это было то же самое, только два члена выражения поменялись местами.
"Э! - подумал Илюша. - Да это просто неполный квадрат суммы!"
Не успел он это подумать, как вдруг откуда-то раздалось ядовитое хихиканье, и слишком хорошо ему известный голосок вездесущего Уникурсала Уникурсалыча произнес очень отчетливо:
- Ах, какой догадливый мальчик! А до того, как переставили, это, значит, не было неполным квадратом суммы? Вон как!
Илюша густо покраснел, хотел было что-то ответить, но не мог придумать ничего дельного, а человечек Знаменатель радостно закивал ему в знак согласия, немедленно вычел из самого себя единицу, залез в скобки, и перед Илюшей появилось:
(q2 + q + 1) (q - 1) = ?
"Неполный квадрат суммы, - подумал Илюша, - если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?"
Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: "Сейчас узнаешь!" - и перед мальчиком появилось:
(q2 + q + 1) (q - 1) = q3 - 1.
"Ну конечно!" - подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:
(q3 + q2 + q + 1) (q - 1) = q4 - 1.
- 194 -
