Згідно з теоремою Піфагора, якщо сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, то цей трикутник є прямокутним. Отже, для того, щоби довести, що цей трикутник прямокутний, нам треба показати це на наступному прикладі.
Сума квадратів двох катетів дорівнює (n2 - 1)2 + (2n)2
(n2 - 1)2 + (2n)2 =
= n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1.
Квадрат гіпотенузи дорівнює (n2 + 1)2
(n2 + 1)2 = n4 + 2n2 + 1.
Отже, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, і цей трикутник є прямокутним.
А обернене твердження від «Трикутник зі сторонами, які можна виразити формулами n2 + 1, n2 - 1 та 2n (де n > 1), є прямокутним» — це «Прямокутний трикутник має сторони, довжину яких можна виразити формулами n2 + 1, n2 - 1 та 2n (де n > 1)».
А доведення від супротивного означає, що треба довести існування прямокутного трикутника, сторони якого не можна виразити формулами n2 + 1, n2 - 1 та 2n (де n > 1).
Позначимо гіпотенузу прямокутного трикутника ABC як AB.
Нехай AB = 65,
нехай BC = 60.
Отже CA = √ (AB2 - BC2) =
= √ (652 - 602) = √ (4225 - 3600) = √ 625 = 25.
Нехай AB = n2 + 1 = 65,
тоді n = √ (65 - 1) = √ 64 = 8,
отже, √ (n2 - 1) = 64 - 1 = 63 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25
і 2n = 16 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25.
Таким чином, трикутник ABC є прямокутним, але в нього немає сторін, які можна виразити формулами n2 + 1, n2 - 1 та 2n (де n > 1). ЩТД (Що й треба було довести).