Первым эту идею выдвинул гуру теории информации Клод Шеннон. Действия с цифровыми данными, производимые компьютерами, могут быть реализованы на подходящих электронных схемах, собранных из логических вентилей. Так что Булева алгебра – естественный математический язык компьютеров. Первые инженеры-электронщики реализовывали эти операции на релейных, а затем на ламповых схемах. С изобретением транзистора радиолампы сменились твердотельными (полупроводниковыми) схемами; сегодня мы пользуемся сложным набором невероятно крохотных схем на основе кремниевых кристаллов.
Проведенная Булем формализация логики в символьном виде открыла нам новый мир, проложила путь цифровой эре, плодами которой мы сейчас наслаждаемся. И часто клянем их, поскольку еще не овладели до конца своими новыми технологиями, хотя и передаем им постепенно все больший контроль над самыми разными составляющими нашей жизни.
Бернхард Риман впервые проявил мощный математический талант, техническое мастерство и оригинальность в возрасте 20 лет. Мориц Штерн, один из его наставников, позже сказал, что «он уже тогда пел, как канарейка». Другой его наставник, Гаусс, впечатлился не так сильно, но и курсы, которые он вел, были элементарными и не давали студенту возможности проявить свои подлинные способности. Вскоре даже Гаусс понял, что Риман необычайно талантлив, и согласился консультировать его по докторской диссертации. Тема диссертации – комплексный анализ – была близка сердцу Гаусса. Он с похвалой отозвался о работе как о «великолепной, плодотворной, оригинальной» и организовал для Римана место преподавателя начального уровня в Гёттингенском университете.
В Германии следующим шагом после защиты степени доктора философии являлась так называемая хабилитация – получение более высокой ученой степени, требующее глубоких исследований; она открывала путь к настоящей академической карьере, давая обладателю право стать приват-доцентом, то есть читать лекции и получать жалованье. Риман провел два с половиной года за весьма плодотворными исследованиями теории рядов Фурье (глава 9). Исследование было проведено качественно, но сам он начал подозревать, что взвалил на себя непосильную ношу.
Проблема не была связана с работой над рядами Фурье. Эта работа была сделана, и Риман был уверен в ее качестве и точности. Нет, проблему представлял последний шаг получения степени доктора хабилис. Кандидат должен был прочесть публичную лекцию. В свое время он предложил три темы: две по математической физике электричества – предмет, который он тоже изучал под руководством Вильгельма Вебера, а в третьей Риман замахнулся на основания геометрии, где у него были кое-какие интересные, но незаконченные идеи. Выбрать из этих трех тем должен был Гаусс, который в то время работал с Вебером и глубоко интересовался электричеством. Однако Риман упустил из виду, что Гаусс столь же глубоко интересовался и геометрией и не прочь был услышать то, что Риман думает по этому поводу.
Так что теперь Риман из кожи вон лез, пытаясь развить свои достаточно неопределенные идеи относительно геометрии в нечто, что могло бы произвести настоящее впечатление на величайшего математика своего времени, причем в области, о которой этот великий человек размышлял значительную часть своей жизни. Начальной точкой размышлений Римана был результат, которым Гаусс особенно гордился, – его Theorema Egregium (см. главу 10). Эта теорема определяет форму поверхности без отсылки к какому бы то ни было окружающему пространству, и ее появление ознаменовало рождение дифференциальной геометрии. Она подвела Гаусса к изучению геодезических кривых, кратчайших путей между точками – и кривизны, количественно отражающей, насколько та или иная поверхность искривлена в сравнении с обычной Евклидовой плоскостью.
Риман планировал обобщить всю теорию Гаусса в радикально новом направлении – для пространств произвольной размерности. Математики и физики тогда только начинали осознавать мощь и ясность геометрической мысли в «пространствах» с бо́льшим числом измерений, чем обычные два или три. В основании этой альтернативной точки зрения лежало нечто понятное – математика уравнений со многими переменными. Переменные играют роль координат, так что чем больше переменных, тем выше размерность этого понятийного пространства.
