Значимые фигуры полностью

Коши распространил дифференциальное и интегральное исчисление с действительных чисел на комплексные. Комплексный анализ появился на свет, когда возражения Беркли против флюксий Ньютона в конце концов получили достойный ответ от Карла Вейерштрасса, сформулировавшего строгое определение «предельного перехода». Одной из горячих тем в комплексном анализе середины XIX в. было исследование эллиптических функций, которые, помимо прочего, определяют длину дуги эллипса. Эти функции представляют собой глубокое обобщение тригонометрических функций. Фурье использовал одно базовое свойство тригонометрических функций – они являются периодическими и принимают те же значения при добавлении к аргументу функции 2π. Эллиптические функции имеют два независимых комплексных периода и повторяют те же значения на решетке из параллелограммов на комплексной плоскости. Они демонстрируют красивую связь между комплексным анализом и группами симметрии (переносами решетки). Эта идея используется в доказательстве Великой теоремы Ферма, данном Уайлсом. Кроме того, эллиптические функции появляются в механике, к примеру в выводе точной формулы для периода колебаний маятника. Более простая формула, которую выводят в школьном курсе физики, является аппроксимацией колебаний маятника для очень маленького угла.

Риману нравился подход Дирихле к математике, очень напоминавший его собственный. Вместо систематического логического развития оба предпочитали начинать с интуитивного понимания проблемы в целом; затем разбирались в центральных концепциях и взаимоотношениях и лишь затем заполняли логические пробелы. Тот и другой всеми силами старались избежать объемных вычислений. Многие самые успешные математики сегодняшнего дня поступают так же. Доказательства жизненно важны для математики, и логика их должна быть безупречной, но доказательства часто приходят после общего понимания. Слишком строгий подход или слишком ранние попытки доказательства могут задушить хорошую идею. Риман практиковал такой подход на протяжении всей своей научной карьеры. У этого метода было одно большое преимущество: общую линию рассуждений в нем можно проследить, не тратя многие недели на проверку сложных расчетов. Его недостатком, по крайней мере с точки зрения некоторых, является необходимость мыслить концептуально, а не просто пробиваться через череду расчетов.

Для получения степени доктора философии Риман переписал книгу по комплексному анализу с введением в нее топологических методов. Сделал он это из-за особенности, с которой приходится сражаться каждому студенту: склонность комплексных функций к неоднозначности. В действительном анализе тоже есть намеки на это явление. К примеру, каждое ненулевое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Эту возможность следует иметь в виду при решении алгебраических уравнений, но справиться с этим несложно – достаточно разбить функцию с квадратным корнем на две отдельные части: с положительным квадратным корнем и с отрицательным квадратным корнем.

Та же неоднозначность свойственна и квадратному корню комплексного числа, но здесь уже недостаточно разделить его на две отдельные функции. Понятия «положительный» и «отрицательный» не имеют ясного – и полезного – значения в случае комплексных чисел, так что естественного способа разделить две эти величины просто не существует. Но есть и более глубокий момент. В случае действительных чисел, если мы будем изменять положительное число непрерывно, то его положительный квадратный корень тоже будет меняться непрерывно, как и его отрицательный квадратный корень. Более того, два этих корня всегда будут различны. Но в комплексном случае непрерывное изменение исходного числа может превратить один из его квадратных корней в другой, не прекращая при этом непрерывно их сдвигать.