На протяжении десяти лет после 1874 г. Кантор все свои усилия сосредоточил на теории множеств; он открыл значение взаимно однозначных соответствий в основании числовой системы и расширил принципы счета на трансфинитные числа. Его работа была настолько оригинальна, что многие современники Кантора были не в состоянии принять ее или поверить в ее значимость. Его математическую карьеру подпортил Кронекер, которому революционные идеи Кантора показались негодными с философской точки зрения. «Целые числа создал Господь Бог, все остальное – дело рук человеческих», – говорил Кронекер.
Кантор, можно сказать, подставился в философском плане, когда недвусмысленно заявил, что теория множеств имеет дело с актуальной бесконечностью, а не с потенциальной бесконечностью Аристотеля. Это некоторое преувеличение, поскольку актуальна эта бесконечность только в концептуальном смысле. В математике, как правило, можно перейти от описания, в котором речь идет, казалось бы, об актуальной бесконечности, к другому описанию, в котором бесконечность уже выглядит чисто потенциальной. Однако переход этот часто кажется надуманным: Кантор был прав, когда говорил, что естественный способ думать о его работе – это рассматривать бесконечность как единое целое, а не как процесс, который хотя и конечен на любом этапе, может продолжаться бесконечно. Непримиримым противником такой позиции был философ Людвиг Витгенштейн. Особенно резко он высказывался о диагональном методе и даже после смерти Кантора продолжал жаловаться на «пагубные подходы теории множеств». Но основная причина, по которой он продолжал громогласно жаловаться, состояла в том, что математики все больше и больше вставали на сторону Кантора и никто из них не обращал внимания на Витгенштейна. Это, наверно, было особенно обидно, потому что самого Витгенштейна очень интересовала философия математики, но, с другой стороны, математики не слишком любят философов, которые упорно твердят, что они, математики, все делают неправильно. Теория множеств
Кантор был религиозен и стремился примирить математику со своей верой. Природа бесконечного в те времена все еще была очень прочно увязана с религией, поскольку христианский Бог считался бесконечным и утверждалось, что Он есть единственная и неповторимая реальная бесконечность. Замечание Кронекера о целых числах вовсе не было метафорой. И тут появляется Кантор и заявляет, что в математике тоже есть актуальные бесконечности… Ну вы можете представить себе, что после этого должно было произойти. Однако Кантор дал достойный ответ, заявив: «Трансфинитная разновидность ровно в той же мере соответствует намерениям Создателя… как и конечные числа». Это был умный довод, поскольку отрицать его означало бы утверждать, что Бог имеет какие-то ограничения, что уже смахивало на ересь. Кантор даже написал об этом папе Льву XIII и направил ему несколько математических статей. Бог знает, что папа об этом подумал.
Математики понимали, что делает Кантор. Гильберт признавал значимость его работы и хвалил ее. Но с возрастом Кантор почувствовал, что теория множеств не произвела того эффекта, на который он надеялся. В 1899 г. у него случился приступ депрессии. Он вскоре оправился, но потерял веру в себя. Он написал Йосте Миттаг-Леффлеру: «Не знаю, когда я вернусь к продолжению научной работы. В настоящее время я абсолютно ничего не могу с ней делать». Пытаясь бороться с депрессией, он отправился на отдых в горы Гарц и попытался примириться со своим академическим противником Кронекером. Кронекер отреагировал на это положительно, но отношения между ними так и остались натянутыми.
Математика держала Кантора в напряжении: он страдал, что не может доказать свою континуум-гипотезу. В какой-то момент он думал, что сумел ее опровергнуть, но быстро нашел ошибку в рассуждениях; затем ему показалось, что он сумел-таки доказать ее, но и в этом доказательстве обнаружилась ошибка. В этот момент Миттаг-Леффлер попросил Кантора отозвать статью из журнала
