Значимые фигуры полностью

В случае конечных чисел если два множества объектов могут быть соотнесены между собой таким образом, то в каждом из них должно содержаться одно и то же число элементов. Если у каждого из сидящих за столом есть свои нож и вилка, причем только один нож и одна вилка, то число вилок равно числу ножей и то и другое равно числу людей за столом. Таким образом, несмотря на то, что квадраты разделены значительными расстояниями и образуют довольно «разреженное» подмножество всех чисел, представляется, что квадратов существует ровно столько же, сколько и чисел. Сальвиати заключает: «Мы можем сделать вывод, что совокупность всех чисел бесконечна и атрибуты “равно”, “больше” и “меньше” не применимы к бесконечным, но только к конечным величинам».

Кантор понял, что на самом деле ситуация здесь не настолько печальна. Он использовал такого рода сопоставление (которое он называл взаимно однозначным соответствием), чтобы определить характеристику «равное число элементов» для множеств, будь они конечными или бесконечными. Это можно сделать – что само по себе достаточно интересно, – даже не зная, сколько в этих множествах на самом деле элементов. Мы сами только что проделали это с ножами и вилками. Так что с логической точки зрения «равное число элементов» предшествует просто «числу элементов». В этом нет ничего удивительного: так, мы можем увидеть, что два человека одинаковы по росту, даже если не знаем, какого они конкретно роста.

Чтобы ввести конкретные числа, достаточно выделить некое стандартное множество и сказать, что любое другое множество, элементы которого могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с элементами стандартного множества, имеют с ним одинаковую мощность. Очевидный выбор стандартного образца для бесконечного множества – множество натуральных чисел, определяющее трансфинитное кардинальное множество, мощность которого Кантор назвал «алеф-нуль». Здесь алеф – первая буква еврейского алфавита, а нуль – это нуль. В символьном виде это можно записать как ℵ₀. По определению, любое множество, взаимно однозначно соответствующее множеству натуральных чисел, имеет мощность ℵ₀. Сальвиати доказал, что множество квадратов тоже имеет мощность ℵ₀.

Это утверждение кажется парадоксальным – ведь существуют, очевидно, и числа, не являющиеся квадратами; мало того, «большинство» чисел не является квадратами. Мы можем разрешить этот парадокс, условившись о том, что удаление некоторого числа элементов из бесконечного множества не уменьшает его мощности. Там, где речь идет о мощности множеств, целое не обязано быть больше своей части. Однако нам нет нужды следовать за Сальвиати и отвергать саму идею сравнения: мы получим разумные результаты, если будем считать, что целое больше или равно части. В конце концов, весь смысл бесконечности как понятия состоит в том, что она не всегда ведет себя как конечные числа. Главный вопрос здесь – как далеко мы можем зайти и какие проблемы сможем решить.

Следующим крупным открытием Кантора стало то, что множество рациональных чисел (для простоты ограничимся только положительными) тоже имеет мощность ℵ₀. Их можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами так:

Чтобы получить верхнюю строку, мы упорядочиваем рациональные числа не в числовой последовательности, а иначе. Определим сложность рационального числа как сумму его числителя и знаменателя. Будем рассматривать только те рациональные числа, у которых числитель и знаменатель не имеют общих множителей, чтобы не включить одно и то же число дважды. К примеру, 2/3 и 4/6 – это одно и то же рациональное число; возьмем из них только первое. Для начала разделим рациональные числа на классы в порядке возрастания сложности. Каждый такой класс конечен. Затем упорядочим, в пределах каждого класса, дроби по возрастанию числителя. Таким образом, класс сложности 5 упорядочится так:

Легко доказать, что любое положительное рациональное число будет включено в один из классов один, и только один раз. Натуральным числом, которое будет поставлено ему в соответствие, станет номер этого числа в окончательном упорядоченном списке.

До настоящего момента нам могло казаться, что ℵ₀ – это всего лишь хитроумный символ для обозначения бесконечности и что все бесконечности одинаковы. Однако следующее открытие взрывает такое предположение. Множество действительных чисел невозможно поставить во взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел.