А тому в самому кінці я дякую «Hollywood Undead» за те, що написали пісню, яка перетрусила стружку в моїй голові і допомогла завершити «Бот». Ця композиція дозволить краще зрозуміти, в якому напівбожевільно-ейфорійному настрої писалися останні розділи. Сподіваюсь, вона прислужиться і вам. Пісню неважко знайти в мережі. Хочу, щоб ураганні акорди «Undead» надихнули вас, замкнули потрібні нейрони в мозку і допомогли закінчити який-небудь проект на такому високому рівні, на який ви тільки здатні.
Хтозна, може, я помиляюсь, і пісня майне повз вас, не зачепивши життєво важливих органів… Ну що ж, тоді просто позліть сусідів громоподібним ревінням динаміків
М. К.
14 січня 2012
хостел «Cardboard Box Backpackers»
Віндхук, Намібія
P. S. Епізод, у якому Ріно Хедхантер розстрілює ботів зі снайперської гвинтівки, підловивши «малюків» у найінтимніший момент їхнього короткого і такого нелегкого життя, присвячується Квентіну Тарантіно та Чаку Паланіку.
<p>Додаток А</p><p>Множина Мандельброта</p>Перед тим як перейти до розгляду множини (фрактала) Мандельброта, пригадаємо, що таке звичайне квадратне рівняння (ми всі вивчали їх у початкових класах школи), а також те, як вони розв’язуються. Саме через такі рівняння найлегше збагнути поняття комплексних чисел та комплексної площини.
Квадратним рівняння називається алгебраїчне рівняння виду:
ax2 + bx + c = 0,
де a, b і c — коефіцієнти, x — змінна.
Це рівняння має два розв’язки (корені), що визначаються з виразу:
В загальному вираз b2 – 4ac, з якого добувається корінь квадратний у чисельнику, може бути будь-яким — як додатним, так і від’ємним. У випадку b2 – 4ac ≥ 0 проблем не виникає — рівняння розв’язується і має два корені. Що ж виходить, коли b2 – 4ac < 0, і під коренем квадратним опиняється від’ємне число? До п’ятого чи шостого класу нас учили, що таке рівняння не розв’язується. Коренів просто не існує. Це твердження обґрунтовувалось неможливістю видобування кореня квадратного з від’ємного числа. Насправді все зовсім не так просто.
В математиці немало задач, під час розв’язку яких доводиться добувати корені з від’ємних чисел. Для того, щоб подолати цю проблему, математики вигадали цікаву штуку, яку назвали уявна одиниця і позначили i. Уявна одиниця — це таке число, квадрат якого дорівнює мінус одиниці. Тобто, i2 = –1. Таким чином, розв’язати квадратне рівняння можна навіть при b2 – 4ac < 0. Корені в такому випадку матимуть вигляд:
де i — уявна одиниця.
А тепер забудьте про квадратні рівняння і сконцентруйтесь на ідеї уявної одиниці. Введення поняття числа i призвело до появи комплексних чисел.
В загальному, комплексні числа — це розширення дійсних чисел, якими ми зазвичай користуємося при лічбі. Будь-яке комплексне число z записується у вигляді:
z = x + iy,
де x та y — звичайні (дійсні) числа, i — уявна одиниця.
Тривалий час комплексні числа сприймались як абстракція, вигадана математиками і придатна лиш для математичних головоломок. Нині комплексні числа дозволяють зручно і стисло сформулювати чимало математичних моделей, їх застосовують у математичній фізиці та природничих науках (електротехніці, гідродинаміці, квантовій механіці, теорії коливань тощо). Власне, якби не комплексні числа, вчені б досі не мали уявлення про фрактальну геометрію, а також про надскладну впорядкованість природи.
Комплексні числа можна представити геометрично (візуально). Візьмемо площину з прямокутною (Декартовою) системою координат. На осі абсцис відкладатимемо значення x, на осі ординат — y (див. рис. нижче). Будь-яке комплексне число (z0 = x0 + iy0 чи z1 = x1 + iy1) можна представити у вигляді точки на цій площині (відповідно, з координатами {x0, y0} та {x1, y1}). Ця площина дістала назву комплексної.
N. B. Зверніть увагу, дійсні числа (ті числа, якими ми користуємося в побуті) на комплексній площині відповідають виключно осі абсцис. Для них y = 0. Введення поняття комплексних чисел неймовірно розширило межі математичних обчислень. Це наче інша реальність, новий вимір. На комплексній площині ці числа — все, що лежить вище і нижче від осі абсцис. Іншими словами, з точки зору математики дійсні (звичайні) числа — це радше виняток. Переважна більшість значень виражається саме комплексними, а не дійсними числами.
