Бот полностью

Геометричне представлення комплексних чисел на комплексній площині

Ось тепер ми нарешті підібрались упритул до множини Мандельброта.

Математик Бенуа Мандельброт досліджував рекурсивні процеси виду z_i+1 = z_i² + c, де c — це довільне комплексне число, а z₀ = 0.

Візьмемо для прикладу c = 3 – 2i.

Тоді перші три члени послідовності дорівнюватимуть:

z₁ = z₀² + c = 0 + 3 – 2i = 3 – 2i

z₂ = z₁² + c = (3 – 2i)² + 3 – 2i = 9 – 12i + 4i² + 3 – 2i = 8 – 14i

z₃ = z₂² + c = (8 – 14i)² + 3 – 2i = 64 – 224i + 196i² + 3 – 2i = –129 – 226i

і так далі…

Що ж там досліджувати, спитаєте ви? Та майже нічого. Кожне з нових отриманих z_i також є комплексним числом і, відповідно, позначається точкою на комплексній площині. Математики ще задовго до Мандельброта помітили, що деякі z_i прямують до нескінченності, а інші — збігаються, цебто прямують до якогось конкретного числа. Така дивна поведінка не підкорялася жодним теоріям, аналітично її не змогли пояснити. Відтак учених зацікавило, що являє собою сукупність точок послідовності z_i+1 = z_i² + c, які не прямують до нескінченності. Яка з них складеться фігура? Коло? Еліпс? Можливо, хаотичний набір точок? Який-небудь складніший візерунок?

До появи електронно-обчислювальних машин побудувати цю фігуру було неможливо. Бенуа Мандельброт першим повернувся до цієї проблеми, озброєний потужною ЕОМ та графічною системою для виведення результатів. До послідовності z → z² + c Мандельброта підштовхнули тривалі роздуми про разючу подібність при розгляді берегової лінії, гірського рельєфу, хмар та інших природних об’єктів в різних масштабах.

Тож Мандельброт узявся за побудову. Якщо точка не прямувала до нескінченності, комп’ютер зображував її чорним кольором на комплексній площині. В іншому випадку точка залишалась білою.

Я не знаю, що очікував побачити Мандельброт під час першої побудови множини, яку незабаром назвуть його іменем. Проте я точно впевнений, що він не сподівався побачити ось це:

Множина Мандельброта на комплексній площині

Мандельброт отримав фігуру, що нагадувала кардіоїду з безліччю приєднаних до неї овалів. Це здивувало вченого. Нічого подібного він раніше не бачив і головне — нічого подібного не очікував. Ніщо не вказувало не те, що у простій формулі може ховатися таке складне зображення. Проте головне здивування ще чекало на нього попереду.

Наближення однієї з ділянок множини Мандельброта

Мандельброт вибрав частину зображення і наблизив її, підбираючи початкові точки z₀ з більшою точністю. Картина, яка відкрилася, шокувала його. Те, що на великому зображенні здавалося точкою чи невиразною плямкою, при збільшенні виявилось дивним візерунком, в якому то тут, то там траплялася точна копія головного зображення — химерної кардіоїди. Подальші збільшення розкривали перед Бенуа ще більш неймовірні візерунки, всі частини яких були з’єднані між собою. При даному наближенні математик бачив цятку. Та варто було заглибитися, як цятка перетворювалась дивовижно закручені галактики.

Мандельброт не міг повірити у те, що бачить. Малюнок був плоским, але математик занурювався вглиб, неначе він був тривимірним. Це все одно що заглянути до власної шафи з одягом і раптом виявити за нею портал, який веде до іншої планети, чиї ландшафти настільки прекрасні, що просто не можуть бути описані словами. Це не вкладалося в голові. Такого не могло бути! Небачена неосяжність форм та образів просто не могла ховатися у настільки простій, просто банальній алгебраїчній формулі.

Та це ще не все.

Мандельброт підмітив, що різні точки, які не належать множині, прямують до нескінченності з різною швидкістю. Для початку він вирішив зробити примітивний розподіл, трохи розширивши умови побудови зображення. Тепер точки розподілялись на три категорії: ті, що не прямують до нескінченності, ті, які прямують з помірною швидкістю, і ті, що віддаляються на нескінченність швидко. Вчений отримав таке зображення:

Множина Мандельброта (зони сірого кольору утворюються точками, що прямують до нескінченності з помірною швидкістю)

Бенуа не спинився і пішов далі. Тепер кожній точці, яка прямувала до нескінченності, присвоювався певний колір залежно від того, наскільки швидко вона віддалялася від нуля. Підставляючи в розрахунки різні градієнти кольору, на границі фрактала Мандельброт отримав просто казкові зображення. Деякі з них наведені нижче.

Насолоджуйтесь і пам’ятайте: вся ця краса описується однією-єдиною формулою!