Гильберт полностью

В формализме пропозициональные функции заменяются формулами, обращение с которыми должно быть описано без ссылок на их значение. В общем случае переменные x, y, ... будут встречаться среди символов некоторой формулы A. Мы говорим, что символ ?_x связывает переменную x в формуле A, если он предшествует этой формуле ²⁵, и говорим, что x свободна в формуле A, если она не связана квантором с индексом x. При этом x, y, , ?_x представляют собой символы, входящие в формулу; готические буквы не применяются для обозначения таких символов, а используются для коммуникации. Нашу основную аксиому (8) более естественно рассматривать как правило для образования аксиом. Она выражает следующее: возьмите любую формулу A, в которой x является единственной свободной переменной, и любую формулу b без свободных переменных и с их помощью образуйте новую формулу

Здесь A(b) обозначает формулу, полученную из A подстановкой всей формулы b на место переменной x всюду, где она входит свободно.

Таким образом, в соответствии с определенными правилами формулы могут быть получены как аксиомы. Дедукция основывается на правиле силлогизма: из двух формул a и ab, полученных ранее, первая из которых стоит слева от символа , мы получаем формулу b.

Каким образом предлагает Гильберт убедиться в том, что дедуктивная игра никогда не приведет к формуле 0?0? Вот его основная идея. Пока мы имеем дело только с «конечными» формулами, т.е. с формулами, не содержащими кванторов ?_x , ?_y , ..., вопрос об их истинности или ложности можно решить, просто посмотрев на них. С присутствием ? такое описательное суждение о формулах становится невозможным — самоочевидность больше не работает. Однако любая конкретная дедукция представляет собой последовательность формул, в которых участвует только конечное число аксиоматических правил типа (9). Предположим, что ?_x является единственным квантором и всюду, где он встречается, за ним следует одна и та же конечная формула A. Другими словами, мы имеем дело с формулами типа (9):

Предположим, кроме того, что формулы b₁, ..., b_h конечны. В этом случае можно произвести приведение, заменяя формулу ?_xA каждый раз, когда она встречается в нашей последовательности, некоторой конечной формулой r. В частности, формулы (10) примут вид

Теперь мы видим, как нужно выбирать r: если мы последовательно просматриваем конечные формулы A(b₁), ..., A(b_h) и обнаруживаем, что одна из них, скажем A(b₃), истинна, то мы принимаем b₃. Если же все они ложны, то мы берём r наугад. Таким образом, все приведённые формулы (11) «истинны» и наше предположение о том, что дедукция ведет к ложной формуле 0?0, приводит к противоречию. Основным здесь является то, что в конкретной дедукции встречается только конечное число явно указанных составляющих b₁, ..., b_h. Если мы ошибочно выберем, например, Алкивиада вместо Аристида как представителя неподкупности, то наша ошибка не будет иметь последствий, если только те немногие из людей (из бесконечной толпы афинян), с которыми мы имеем дело, все являются подкупными.

Немного более сложным, будет случай, когда мы разрешим, чтобы формулы b₁, ..., b_h содержали ?_x , считая, однако, что за ним всегда следует одна и та же формула A. В этом случае мы сначала сделаем пробную редукцию, заменив ?_xA, скажем, числом&nsbp0. После этого формулы b₁, ..., b_h заменятся редуцированными конечными формулами b₁⁰, ..., b_h⁰, а формулы (10) — формулами

A(b₁⁰) A(0), ..., A(b_h⁰) A(0).

Такая редукция вполне пригодна, если только A(0) не будет ложна и в то же время одна из формул A(b₁⁰), ..., A(b_h⁰), скажем A(b₃⁰), истинна. Но тогда мы сможем взять b₃⁰ как вполне законного представителя формулы A, и со второй редукцией, заменяющей ?_xA на b₃⁰, снова всё будет в порядке.

Однако это только самые первые трудности, которые нас ожидают. Кванторы ?_x , ?_y , ... с различными переменными, применённые к различным формулам, встанут перед нами, нагромождаясь друг на друга. Мы сделаем пробную редукцию, которая в некоторых местах может и не пройти; эта неудача научит нас, как её исправить. Однако исправленная редукция может не пройти в других местах. Создается впечатление, что мы находимся в замкнутом круге, и возникает вопрос, каким образом надо делать последовательные редукции, чтобы быть уверенным, что окончательная редукция будет хорошей во всех местах нашей последовательности формул. Ничто так не способствовало прояснению замкнутого характера обычных трансфинитных рассуждений в математике, как эти попытки убедиться в непротиворечивости, несмотря на все порочные круги.