Читать Гильберт Онлайн и Бесплатно. Библиотека Читка

Гильберт увидел две вещи: 1)

построив функцию Грина K для заданной области G и уравнения потенциала ?u = 0 с помощью уравнения Фредгольма на границе области, мы преобразуем дифференциальное уравнение колебания мембраны ?? + ?? = 0 в однородное интегральное уравнение

	1
?(s) – ?	?	K(s, t) ?(t) dt = 0.
	0

с симметрическим ядром K, K(t, s) = K(s, t) (при этом параметр ? перестаёт быть искусственным, а отвечает существу дела);

проблема нахождения «собственных значений» ? и «собственных функций» ?(s) этого интегрального уравнения представляет собой интегральный аналог задачи приведения квадратичной формы от n переменных к главным осям. Тем самым, соответствующая теорема для интегральной квадратичной формы

1	1
?	?	K(s, t) x(s) x(t) ds dt
0	0

(12)

с произвольным симметричным ядром K должна лечь в основу общей теории колебаний непрерывной среды.

Если другие и понимали это, то Гильберт, по крайней мере, осознал это настолько чётко, что направил всю свою энергию на доказательство этого предложения. И это ему удалось сделать с помощью такого же прямого метода, который около 1730 года применил Бернулли к задаче о колебании струны: переход к пределу, исходя из алгебраической задачи. При этом ему пришлось использовать определитель Коха—Фредгольма. Он находит последовательность собственных значений ?₁, ?₂, ..., стремящихся к бесконечности, ?_n ? при n ?, и ортонормированное множество соответствующих собственных функций ?_n(s),

	1		1
?_n(s) – ?_n	?	K(s, t) ?_n(t) dt = 0,	?	?_m(s) ?_n(s) ds = ?_mn,
	0		0

таких, что 1

K(s, t) x(s) x(t) ds dt =

?_n²

?_n

где	1
?_n =	?	x(s) ?_n(s) ds — коэффициент Фурье.
	0

Из этой теории следует, что каждая функция вида

	1
y(s) =	?	K(s, t) x(t) dt
	0

может быть разложена в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ?_n:

			1
y(s) =	?	?_n?_n(s), ?_n =	?	y(s) ?_n(s) ds.
	n		0

Предельный переход, который применил Гильберт, довольно сложный. Вскоре после этого Э. Шмидт в своей гёттингенской диссертации нашёл более простое и конструктивное доказательство этих результатов. При этом он применил один метод Г. А. Шварца, изобретённый тем двадцать лет назад для нужд интегральных уравнений.

От конечных форм дорога ведёт либо к интегралам, либо к бесконечным рядам. Поэтому Гильберт рассмотрел аналогичную проблему ортогональных преобразований заданной квадратичной формы

?	K_mn x_m x_n
m, n

(13)

в форму специального вида

c₁?₁² + c₂?₂² + ... (c_n = 1/?_n 0)

(14)

от бесконечного числа (действительных) переменных (x₁, x₂, ...) или векторов x счётномерного пространства. При этом рассматриваются только векторы с конечной длиной |x|,

|x|² = x₁² + x₂² + ...;

они образуют то, что мы сейчас называем гильбертовым пространством. Преимущество этого гильбертова пространства перед «пространством» всех непрерывных функций x(s) основано на некотором свойстве полноты. Благодаря этому свойству можно сформулировать необходимое и достаточное условие для приведения формы (13) к виду (14) в терминах некоторой «вполне непрерывности», позволяющей провести хорошо известное в алгебраическом случае рассуждение: числа c₁, c₂, ... определяются как последовательные максимумы функции K на «сфере» |x|² = 1.

Как подсказывает теорема об интегральной квадратичной форме, связь между пространством функций x(s) и гильбертовым пространством векторов (x₁, x₂, ...) осуществляется произвольной полной ортонормированной системой u₁(s), u₂(s), ... и выражается уравнением

	1
x_n =	?	x(s) u_n(s) ds.
	0

Перейти на страницу:

Гильберт полностью

Поиск

Книга жанров

Похожие книги